6.0.0.3.  §3.

Если время обозначить через $t$ , а прямоугольные координаты-через $x,y,z$ , то очевидно, что наиболее общим линейным элементом, удовлетворяющим требованиям $1-3$ , является следующий:

$$ds^2=Fdt^2-G(dx^2+dy^2+dz^2)-H(xdx+ydy+zdz)^2.$$

Здесь $F,G$ и $H$ - функции величины $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Требование 4 сводится к тому, чтобы при $r=\infty$ выполнялись равенства $F=G=1, H=0$ .

Переходя к сферическим координатам по формулам

$$x=r\sin\Theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\Theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\Theta,$$

получаем для того же линейного элемента выражение

$$ds^2=Fdt^2-G(dr^2+r^2d\Theta^2+r^2\sin^2\Theta d\varphi^2)-Hr^2dr^2=$$

$$= Fdt^2-(G+Hr^2)dr^2-Gr^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2).$$

При этом элемент объема в сферических координатах равен
$r^2\sin\Theta dr d\Theta d\varphi$ , так что якобиан преобразования от старых координат к новым, равный $r^2\sin\Theta$ , отличен от единицы. Поэтому уравнения поля не сохраняют своего прежнего вида, если их записать в сферических координатах, и требуют основательного преобразования. Но можно обойти эту труднрсть, если воспользоваться простым искусственным приемом. Положим

$$x_{1}=\frac{r^3}{3},\qquad x_{2}=-\cos\Theta,\qquad x_{3}=\varphi$$ (6.277)

Тогда элемент объема примет вид $r^2 dr\sin\Theta d\Theta d\varphi=dx_{1}dx_{2}dx_{3}$ . Следовательно, новые переменные можно толковать как сферические координаты с определителем, равным единице. Они сохраняют очевидные преимущества сферических координат при решении данной задачи, и вместе с тем при переходе к ним, если принять также $t=x_{4}$ , уравнения поля и условие для определителя не меняют своего вида.

В новых сферических координатах линейный элемент имеет вид

$$ds^2=Fdx^2_{4}-\left(\frac{G}{r^4}+\frac{H}{r^2}\right)dx^2_{1}-Gr^2\left[\frac{dx^2_{2}}{1-x_{2}^2}+dx_{3}^2(1-x_{2}^2)\right].$$ (6.278)

что мы перепишем в виде

$$ds^2=f_{4}dx_{4}^2-f_{1}dx_{1}^2-f_{2}\frac{dx_{2}^2}{1-x_{2}^2}-f_{3}dx_{3}^2(1-x_{2}^2).$$ (6.279)

Здесь $f_{1}, f_{2}=f_{3}, f_{4}$ -три функции переменной $x_{1}$ , которые должны удовлетворять следующим условиям:

$$\begin{array}{l} 1) \qquad f_{1}=\frac{1}{r^4}=(3x_{1})^{-4/... ... \mbox{непрерывны всюду, кроме точки}\quad x_{1}=0. \end{array}$$