9.  Элементарный критерий применимости

Рассматривая в предыдущем разделе полуклассическое приближение к решению уравнения Шредингера, мы нашли приближенное выражение для волновой функции $\psi$ через функцию действия $S$ .

Применим полученные результаты к случаю стационарного состояния частицы. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид

$$\Delta\psi+\frac{2}{\hbar^2}(E-U)\psi=0,$$ (9.1)

а уравнение Гамильтона-Якоби классической механики напишется

$$\frac{1}{2}(grad S)^2+U=E.$$ (9.2)

Если $S$ есть полный интеграл уравнения (9.2), содержащий три произвольные постоянные $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ (включая постоянную энергию $E$ , но не считая аддитивной постоянной), то мы можем положить в зависимости от граничных условий

$$\psi=\sqrt{Det\frac{\partial^2S}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\cdot e^{\frac{i}{\hbar}S}$$ (9.3)

или

$$\psi=\left\vert\sqrt{Det\frac{\partial^2S}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right\vert\cos\left(\frac{S}{\hbar}+\alpha\right).$$ (9.4)

где под корнем стоит детерминант из вторых производных от $S$ , а величина $\alpha$ есть постоянная фаза. Переход от уравнения (9.1) волновой механики к уравнению (9.2) классической механики формально аналогичен переходу от волновой оптики к геометрической. Условие применимости приближенных форвул (9.3) или (9.4) может быть выражено на языке волновой оптики (или волновой механики) следующим образом: относительное изменение показателя преломления (или длины волны) на расстояниях порядка длины волны должно быть весьма мало по сравнению с единицей. Если мы вместо длины волны $\lambda$ будем считать характерной длиной величину $\lambda/2\pi$ , то это условие можно записать так:

$$\frac{\lambda}{2\pi}\cdot \frac{\vert grad\lambda\vert}{\lambda}=\left\vert grad\frac{\lambda}{2\pi}\right\vert\лк1.$$ (9.5)

В квантовой механике $\lambda$ есть длина волны де Бройля, равная

$$\lambda=\frac{2\pi\hbar}{\sqrt{2(E-U)}}\quad.$$ (9.6)

Но так как мы рассматриваем область, пограничную между квантовой и классической механикой, то критерий применимости формул (9.3) или (9.4) может быть формулирован и на языке классической механики. В самом деле, подставляя в условие (9.5) выражение (9.6) для $\lambda$ , мы получим

$$\frac{\hbar}{[2(E-U)]^{3/2}}\vert grad U\vert\лк1.$$ (9.7)

Обозначая через $v$ абсолютную величину скорости частицы и через $w$ -абсолютную величину ускорения, мы можем написать

$$\sqrt{2(E-U)}=v,$$ (9.8)

$$\vert grad U\vert=w.$$ (9.9)

Следовательно, условие (9.7) дает

$$\frac{\hbar w}{v^3}\лк1$$ (9.10)

или

$$\frac{v^3}{\hbar w}»1.$$ (9.11)

Это и есть тот критерий, который мы хотели вывести. Помимо $\hbar$ (деленной на $2\pi$ постоянной Планка) в него входят только величины классической механики, притом лишь кинематические величины.

Заметим, что по известной формуле кинематики мы имеем

$$w^2=\left(\frac{dv}{dt}\right)^2+\left(\frac{v^2}{\rho}\right)^2,$$ (9.12)

где $v$ -абсолютная величина скорости, $\rho$ -радиус кривизны траектории. Отсюда следует

$$w\ge\frac{v^2}{\rho}.$$ (9.13)

Подставляя это в неравенство (9.10), мы получаем

$$\frac{\hbar}{v\rho}\ll 1$$ (9.14)

или

$$\frac{\lambda}{2\pi\rho}\ll 1,$$ (9.15)

где $\lambda$ по-прежнему обозначает де-бройлевскую длину волны. Таким образом, длина волны де Бройля должна быть весьма мала по сравнению с радиусом кривизны траектории.

Критерий, выражаемый формулами (9.10) и (9.11), допускает два различных применения. Во-первых, если мы будем считать скорость и ускорение частицы функциями точки [формулы (9.8) и (15.9)], то в той области пространства, где выполняется неравенство (9.11), выражение (9.3) или (9.4) будет давать хорошее приближение к шредингеровской волновой функции. Во-вторых, мы можем ввести в наше неравенство вместо скорости и ускорения некоторые срелние их значения. Левая часть его будет представлять тогда некоторый постоянный параметр, порядок величины которого по сравнению с единицей будет характеризовать применимость классических уравнений.

В начальный период развития квантовой механики Бор сформулировал "принцип соответствия" согласно которому формулы квантовой механики должны переходить в классические формулы при больших значениях квантовых чисел. Поэтому мы должы ожидать, что упомянутый параметр [левая часть неравенства (9.11)] связан с характерным для данной задачи квантовым числом. Покажем на простейшем примере, что это действительно так и будет.

Рассмотрим движение гармонического вибратора в одном измерении. В этом случае скорость будет параллельна ускорению. В качестве параметров, характеризующих скорость и ускорение, мы возьмем средние квадратичные их значения.

Мы имеем

$$x=a\cos\omega t$$ (9.16)

и, следовательно,

$$v^2=\overline{\dot x^2}=\frac{1}{2}a^2\omega^2,\quad w^2=\overline{\ddot x^2}=\frac{1}{2}a^2\omega^4.$$ (9.17)

Поэтому

$$\frac{v^3}{\hbar\omega}=\frac{a^2\omega}{2\hbar}.$$ (9.18)

Но кинетический потенциал вибратора выражается через его амплитуду по формуле

$$E=\frac{1}{2}a^2\omega^2.$$ (9.19)

Следовательно, величина (9.18) равна

$$\frac{a^2\omega}{2\hbar}=\frac{E}{\hbar\omega}$$ (9.20)

и неравенство, выражающее наш критерий, принимает для вибратора вид

$$\frac{v^3}{\hbar\omega}=\frac{E}{\hbar\omega}\gg 1.$$ (9.21)

Но, как известно, кинетический потенциал вибратора равен

$$E=E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,$$ (9.22)

где $n$ -квантовое число вибратора в данном состоянии. Следовательно, наше условие (9.21) приводится к требованию, чтобы квантовое число $n$ было велико по сравнению с единицей.

В заключение следует отметить, что применимость классических уравнений не означает еще применимости классических представлений. Принципиальное отличие "вероятностного"; способа описания явлений при помощи волновой функции от "абсолютного"; способа описания при помощи классических величин и классических понятий - отличие, о котором говорится вначале части $I$ книги [10] - остается в силе и тогда, когда классические величины дают хорошее приближение для волновой функции.