6.0.0.1.  §1.

Допустим, что пробный точечный заряд $-g$ движется в соответствии с требованием

$$\delta \int ds=0,$$ (6.271)

где

$$ds=\sqrt{\sum g_{\mu\nu}dx_{\mu}dx_{\nu}} \qquad (\mu,\nu=1,2,3,4),$$

причем величины $g_{\mu\nu}$ суть функции переменных $x$ , а при варьировании переменные $x$ закреплены на верхней и нижней границах интеграла. Короче говоря, точка $-g$ движется по геодезической линии в многообразии, характеризуемом линейным элементом $ds$ .

Варьирование дает уравнения движения точки в виде

$$\frac{d^2 x_{\alpha}}{ds^2}=\sum_{\mu,\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\frac{dx_{\mu}}{ds}\cdot\frac{dx_{\nu}}{ds} \qquad (\alpha,\beta=1,2,3,4),$$ (6.272)

где

$$\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\sum_{\beta}g^{\alpha\beta}\... ...beta}}{\partial x_{\mu}}-\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_{\beta}}\right),$$ (6.273)

а $g^{\alpha\beta}$ - миноры определителя $\vert g_{\mu\nu}\vert$ , соответствующие компонентам $g_{\alpha\beta}$ и нормированные на них.

Тогда, по теории Эйнштейна, это будут уравнения движения безмассовой точки $-g$ в центрально-симметричном электро-статическом поле заряда $+g$ , находящегося в точке $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ , если для «компонент электро-статического поля» $\Gamma$ всюду, кроме точки $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ , выполняются «уравнения поля»

$$\sum_{\alpha}\frac{\partial\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}}{\partial x_{\alpha}}+\sum_{\alpha\beta}\Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}=0,$$ (6.274)

а также «условие для определителя»

$$\vert g_{\mu\nu}\vert=-1.$$ (6.275)

Уравнения поля с условием для определителя обладают тем фундаментальным свойством, что они сохраняют свой вид при замене переменных $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ любыми другими переменными, если только соответствующий якобиан равен $1$ .

Если $x_{1},x_{2},x_{3}$ -прямоугольные координаты, а через $x_{4}$ обозначено время, и если мы хотим, чтобы заряд в начале координат не менялся со временем, а движение на бесконечности было равномерным и прямолинейным, то, согласно расчетам г-на Эйнштейна [3,стр.833], должны выполняться еще следующие требования:

1. Все компоненты метрики не должны зависеть от времени $x_{4}$ .

2. Равенства $g_{\rho 4}=g_{4\rho}=0$ должны выполняться строго при $\rho=1,2,3$ .

3. Решение должно быть симметричным в пространстве вокруг начала координат, т.е. переходить само в себя при ортогональном преобразовании координат $x_{1},x_{2},x_{3}$ (вращении).

4. На бесконечности должны обращаться в нуль все величины $g_{\mu\nu}$ , кроме четырех, имеющих следующие отличные от нуля предельные значения:

$$g_{44}=1,\qquad g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1.$$

Для малых скоростей, т.е. в классической механике, функция Лагранжа (4.238) в рассматриваемом случае переходит в

$$L=c-\frac{v^2}{2c}+e\varphi .$$

Нерелятивистское действие $S$ для частицы в электрическом поле имеет вид

$$S=\int Ldt=-c\int\left(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\alpha}{c}\right)dt,$$

где $\alpha=e\varphi$ . Сравнивая это выражение с $S=-c\int ds$ мы видим, что в рассматриваемом предельном случае

$$ds=\left(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\alpha}{c}\right)dt$$

Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при $c\to\infty$ в нуль, находим:

$$ds^2=(c^2+2\alpha)dt^2-d{\bf r}^2 ,$$ (6.276)

где мы учли, что ${\bf v}dt=d{\bf r}$ . Чтобы на бесконечности метрика была галилеевой, т.е. $g_{44}=1$ , мы должны положить в выражении $e^{\nu}=1+\frac{const}{r}$ постоянную $const$ равной кулоновскому выражению $const=kee^{\prime}/c^2r$ , где $k=1/4\pi\varepsilon_{0}$ , а величина $kee^{\prime}/c^2$ имеет размерность длины и может быть названа электрическим радиусом заряда $r_{e}$ .

Задача состоит в том, чтобы отыскать линейный элемент с такими коэффициентами, которые удовлетворяли бы уравнениям поля, условию для определителя и четырем перечисленным требованиям.