4.  Движение в кулоновом поле

Рассмотрим движение частицы с массой $m$ и зарядом $e$ в поле создаваемом другим зарядом $e^{\prime}$ ; предполагая, что масса последнего настолько велика, что его можно считать неподвижным. Действие для частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем. Эти величины входят в действие в виде члена

$$-\frac{e}{c}\int\limits_a^b A_i dx^i ,$$

где функции $A_i$ берутся в точках мировой линии частицы. Множитель $1/c$ введен здесь для удобства. Вводя скорость частицы ${\bf v}=d{\bf r}/dt$ интеграл действия можно написать в виде ([1]стр.68)

$$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}{\bf Av}-e\varphi\right)dt.$$ (4.237)

Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле:

$$L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{e}{c}{\bf Av}-e\varphi .$$ (4.238)

В случае чисто электрического поля векторный потенциал трехмерный вектор A равен нулю.

Тогда задача сводится к исследованию движения заряда $e$ в центрально-симметрическом поле со скалярным потенциалом $\varphi=e^{\prime}/r$ .

Полная энергия частицы равна

$${\cal E}=c\sqrt{p^2+m^2c^2}+\frac{\alpha}{r},$$ (4.239)

где $\alpha=ee^{\prime}$ . Если пользоваться полярными координатами в плоскости движения частицы, то, как известно из механики,

$$p^2=\frac{M^2}{r^2}+p^2_{r},$$

где $p_{r}$ -радиальная компонента импульса, а $M$ -постоянный момент импульса частицы. Тогда

$${\cal E}=c\sqrt{p^2_{r}+\frac{M^2}{r^2}+m^2c^2}+\frac{\alpha}{r}.$$ (4.240)

Выясним вопрос о том, может ли частица при своем движении приближаться сколь угодно близко к центру. Прежде всего очевидно, что это во всяком случае невозможно, если заряды $e$ и $e^{\prime}$ отталкиваются, т. е. $e$ и $e^{\prime}$ -одного знака. Далее, в случае притяжения($e$ и $e^{\prime}$ имеют различные знаки) неограниченное приближение к центру невозможно, если $Mc>\alpha\vert$ ; действительно, в этом случае первый член в (4.238) всегда больше второго, и при $r\to 0$ правая сторона этого равенства стремилась бы к бесконечности. Напротив, если $Mc<\vert\alpha\vert$ , то при $r\to 0$ это выражение может оставаться конечным (при этом, разумеется, стремится к бесконечности $p_{r}$ ). Таким образом, если

$$cM<\vert\alpha\vert,$$ (4.241)

то частица при своем движении «падает» на притягивающий ее заряд,-в противоположность тому, что в нерелятивистской механике в кулоновом поле такое падение вообще невозможно (за исключением только случая $M=0$ , когда частица $e$ летит прямо на частицу $e^{\prime}$ ).

Полное определение движения заряда в кулоновом поле удобнее всего производить, исходя из уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем полярные координаты $r,\varphi$ в плоскости движения. Уравнение Гамильтона-Якоби (16,11) имеет вид

$$-\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\alpha}{r... ...t)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^2+m^2c^2=0.$$

Ищем $S$ в виде

$$S=-{\cal E}t+M\varphi+f(r),$$

где ${\cal E}$ и $M$ -постоянные энергия и момент импульса движушейся частицы. В результате находим:

$$S=-{\cal E}t+M\varphi+\int\sqrt{\frac{1}{c^2}\left({\cal E}-\frac{\alpha}{r}\right)^2-\frac{M^2}{r^2}-m^2c^2} \cdot dr.$$ (4.242)

Траектория определяется уравнением $\partial S/\partial M=const$ . Интегрирование в (4.240) приводит к следующим результатам для траектории:

a) если $Mc>\vert\alpha\vert$ :

$$(c^2M^2-\alpha^2)\frac{1}{r}=c\sqrt{(M{\cal E})^2-m^2c^2(M^2c^2-\... ...)}\cdot\cos\left(\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}\right)-{\cal E}\alpha;$$ (4.243)

b) если $Mc<\vert\alpha\vert$ ;

$$(\alpha^2-c^2M^2)\frac{1}{r}=\pm c\sqrt{(M{\cal E})^2+m^2c^2(\alp... ...}\cdot\cosh\left(\varphi\sqrt{\frac{\alpha^2}{c^2M^2}-1}\right)+{\cal E}\alpha;$$ (4.244)

c) если $Mc=\vert\alpha\vert$ ;

$$\frac{2{\cal E}\alpha}{r}={\cal E}^2-m^2c^4-\varphi^2\left(\frac{{\cal E}\alpha}{cM}\right)^2.$$ (4.245)

Постоянная интегрирования заключена в произвольном выборе начала отсчета угла $\varphi$ . Вычислим интеграл в уравнении (4.240), чтобы затем получить уравнение траектории: