4.1.  Движение в кулоновом поле и поправки к "траектории"

Рассмотрим движение частицы с зарядом $e$ в поле создаваемым другим зарядом $e'$ , который считаем неподвижным. Тогда задача сводится к исследованию движения заряда $e$ в центрально-симметрическом электрическом поле с потенциалом $\varphi=e'/r$ .

Суммарный потенциал частицы без энергии покоя равен

$${\cal E}^{\prime}=c\sqrt{p_{r}^2+\frac{M^2}{r^2}}+\frac{\alpha}{r},$$ (4.246)

где $\alpha=-ee^{\prime}, p_{r}$ -радиальная компонента импульса, а $M$ -постоянный момент импульса частицы. В полярных координатах в плоскости движения частицы и ${\cal E}^{\prime}=const$ .

Полное определение движения заряда в кулоновом поле найдем, исходя из уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем полярные $r$ и $\varphi$ в плоскости движения. Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид

$$-\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\alpha}{r... ...right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^2+c^2=0.$$ (4.247)

Будем считать, что радиус-вектор $\vec r$ определен таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат была равна $2\pi r$ (элемент дуги окружности в плоскости $\theta=\pi/2$ равен $dl=rd\varphi$ ) [17, стр. 364-370]. Воспользуемся уравнением Гамильтона-Якоби в форме

$$g^{ik}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^k}+c^2=0.$$ (4.248)

С помощью $g^{ik}$ из (0.19) [20, стр. 70] находим уравнение

$$e^{-\nu}\left(\frac{\partial S}{c\partial t}\right)^2-e^{\nu}\lef... ...\right)^2-\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial\varphi}\right)^2-c^2=0,$$ (4.249)

где

$$e^{\nu}=1-\frac{r_{e}}{r}.$$ (4.250)

По общим правилам решения уравнения Гамильтона-Якоби, ищем $S$ в виде

$$S=-{\cal E}^{\prime}t+M\varphi+S_{r}(r)$$ (4.251)

с постоянными потенциалом ${\cal E}^{\prime}$ и моментом импульса $M$ . Подставляя это в (4.247), находим уравнение

$$e^{-\nu}\frac{({\cal E}^{\prime})^2}{c^2}-\frac{M^2}{r^2}-e^{\nu}\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^2-c^2=0,$$ (4.252)

откуда

$$S_{r}=\int\sqrt{\frac{({\cal E}^{\prime})^2}{c^2}e^{-2\nu}-\left(c^2+\frac{M^2}{r^2}\right)e^{-\nu}}dr$$ (4.253)

Произведем преобразование переменной интегрирования, заменяя

$$r(r-r_{e})=r^2(1-\frac{r_{e}}{r})=(r^{\prime})^2, \quad r(1-\frac{r_{e}}{r})^{\frac{1}{2}}\approx r-\frac{r_{e}}{2}=r^{\prime},$$ (4.254)

в результате чего второй член под корнем приобретает вид $M^2/(r^{\prime})^2$ . В первом же члене производим разложение по степеням $r_{e}/r'$ и получаем, с требуемой точностью:

$$S_{r}=\int\left[\left(2{\cal E}^{\prime}+\frac{({\cal E}^{\prime}... ...ime}r_{e}) -\frac{1}{r^2}\left(M^2-\frac{3c^2r^2_{e}}{2}\right)\right]^{1/2}dr,$$ (4.255)

где мы для краткости опустили штрих у $r^{\prime}$ .

В рассматриваемом колебательном движении полный потенциал частицы при $v_{r}=0$ будет равен ${\cal E}^{\prime}=\frac{\alpha}{r}=-\frac{eke^{\prime}}{r}$ , где $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}$ . Произведем преобразование подкоренного выражения в (4.247)

$$\begin{multline} \left[\frac{({\cal E}^{\prime})^2}{c^2}e^{-2\nu}-c^2e^{-\nu}-\f... ...ght)e^{-2\nu}-\frac{M^2}{{(r^{\prime})^2}}\right]^{1/2}. \nonumber\end{multline}$$

(4.256)

В рассматриваемом колебательном движении полный потенциал частицы при $v_{r}=0$ будет равен ${\cal E}^{\prime}={\displaystyle\frac{\alpha}{r}}=-{\displaystyle\frac{eke^{\prime}}{r}}$ , где $k={\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}}$ , ${\displaystyle r_{e}=\frac{2ke^{\prime}}{c^2}}$ - электрический радиус заряда $e^{\prime}$ , ${\displaystyle\varphi=\frac{e^{\prime}}{r}}$ - потенциал положения единицы заряда тела $e$ , испытывающего действие со стороны тела $e^{\prime}$ , источника взаимодействия. Из соотношений (4.254) имеем

$$\left(1-\frac{r_{e}}{r}\right)=\frac{(r^{\prime})^2}{r^2} \quad\mbox {или}\;\left(1-\frac{r_{e}}{r}\right)^{1/2}=\left(1-\f... ...}\right)=\frac{r^{\prime}}{r}\quad\mbox{т.е.}\;(r-r^{\prime})=\frac{1}{2}r_{e}.$$ (4.257)

Первое слагаемое в подкоренном выражении (4.255) равно:

$$\frac{({\cal E}^{\prime})^2}{c^2}=\frac{\alpha^2}{c^2r^2}=\frac{(... ...2(e^{\prime})^2}{c^4}\cdot\frac{e^2c^2}{r^2}=\frac{1}{4}e^2c^2\cdot(r_{e}/r)^2,$$ (4.258)

т.е. является величиной второго порядка малости по степеням $r_{e}/r^{\prime}$ .

Запишем подкоренное выражение (4.256) в виде

$$\begin{multline} \left(2{\cal E}+\frac{({\cal E})^2}{c^2}\right) \left(1+2\frac{... ...ime}+ 4{\cal E}r_{e})+\frac{3}{2}\frac{c^2r_{e}^2}{r^2}; \nonumber\end{multline}$$

(4.259)

Добавляя сюда слагаемое $-\frac{M^2}{r^2}$ , окончательно получим:

$$\begin{multline} S_{r}=\int\left[\left(2{\cal E}+\frac{({\cal E})^2}{c^2}\right)... ...\left(M^2-\frac{3}{2} c^2r_{e}^2\right)\right]^{1/2}dr. \nonumber\end{multline}$$

(4.260)

Поправочные члены в коэффициентах в первых двух слагаемых под корнем отражаются только на не представляющем особого интереса изменении связи между полным потенциалом и моментом частицы и параметрами ее ньютоновской орбиты (эллипса). Изменение же коэффициента при $1/r^2$ приводит к более существенному эффекту - к систематическому смещению перигелия орбиты.

Уточнение формулы (4.259)

$$\begin{multline} \left[\frac{r^2{(\cal E}^{\prime})^2}{(r-r_{e})^2c^2}-\frac{rc^... ...-\frac{M^2}{r^2}-\frac{c^2r(r-r_{e})}{r^2}\right]^{1/2}. \nonumber\end{multline}$$

(4.261)

Преобразуя последнее слагаемое в подкоренном выражении аналогично (4.257) находим, что $-\frac{c^2r(r-r_{e})}{r^2}$ равняется $-\frac{1}{2}c^2r_{e}^2/r^2$ , т.е. приходим к соотношению (4.255).