5.  Движение в кулоновом поле, с учетом его пространственной кривизны в пустоте

С помощью $g^{ik}$ из (3.236) находим уравнение:

$$e^{-\nu}\left(\frac{\partial S}{c\partial t}\right)^2-e^{\nu}\lef... ...\right)^2-\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial\varphi}\right)^2-c^2=0,$$ (5.262)

где

$$e^{\nu}=1-\frac{r_{g}}{r}$$ (5.263)

По общим правилам решения уравнения Гамиьтона-Якоби, ищем $S$ в виде

$$S=-{\cal E}_{0}t+M\varphi+S_{r}(r)$$ (5.264)

с постоянными энергией ${\cal E}_{0}$ и моментом импульса $M$ . Подставляя это в (5.262), находим уравнение

$$e^{-\nu}\frac{{\cal E}^2_{0}}{c^2}-\frac{M^2}{r^2}-e^{\nu}\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^2-c^2=0,$$

откуда

$$S_{r}=\int\sqrt{\frac{{\cal E}^2_{0}}{c^2}e^{-2\nu}-\left(c^2+\frac{M^2}{r^2}\right)e^{-\nu}} dr$$ (5.265)

$$S_{r}=\int\left[\frac{r^2({\cal E}^2_{0}-c^4)+c^4rr_{g}}{c^2(r-r_{g})^2}-\frac{M^2}{r(r-r_{g})}\right]^{1/2} dr.$$ (5.266)

Траектория определяется, как известно (см.[15]т,1§47) уравнением $\partial S/\partial M=const$ , откуда

$$\varphi=\int\frac{M/r^2 dr}{\sqrt{\frac{{\cal E}^2_{0}}{c^2}-\left(c^2+\frac{M^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)}} .$$ (5.267)

$$\varphi=-\int\frac{-M/r^2 dr}{\sqrt{\frac{{\cal E}^2_{0}}{c^2}-c... ...ac{r_{g}}{r}\right)\right)} {\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)}-\frac{M^2}{r^2}}}$$

$$\varphi=-\int\frac{d(M/r)}{\sqrt{\left(\frac{{\cal E}^2_{0}}{c^2\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)}-c^2\right)-\frac{M^2}{r^2}}}$$

Обозначим $(M/r)=x$ , а за $a^2$ величину

$$\left(\frac{{\cal E}^2_{0}}{c^2\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)}-c^2\right)$$

тогда предыдущий интеграл примет табличный вид

$$\varphi=-\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\arcsin\frac{x}{a}=\arccos\frac{x}{a} .$$ (5.268)

$$\cos\varphi=\frac{M}{r}\sqrt{\frac{c^2\left((1-\frac{r_{g}}{r}\ri... ... E_{0}}^2c^2\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)-c^4\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)}}.$$ (5.269)

Для исследования релятивистских поправок в траектории удобно исходить из выражения (5.266) радиальной части действия до его дифференцирования по $M$ .

Произведем преобразование переменной интегрирования, заменив

$$r(r-r_{9})=r^{\prime 2},$$   т.е.$$\qquad r-\frac{r_{g}}{2}=r^{\prime},$$

в результате чего второй член под корнем приобретает вид $M^2/r^{\prime 2}$ . В первом же члене произведем разложение по степеням $r_{g}/r^{\prime}$ и получаем, с требуемой точностью:

$$S_{r}=\int\left[\left(2{\cal E}^{\prime}+\frac{{\cal E}^{\prime 2... ...{q})-\frac{1}{r^2}\left(M^2-\frac{3c^2\alpha^2_{q}}{2}\right)\right]^{1/2} dr,$$ (5.270)

где мы для краткости опустили штрих у $r^{\prime}$ и ввели нерелятивистскую интенсивность движения ${\cal E}^{\prime}$ (без интенсивности движения покоя), а $k\alpha_{q}=-qq_{0}/4\pi\varepsilon_{0}$ .