3.  Центрально-симметрическое гравитационное поле

Если пользоваться к сферическимик простраственными координатами $r,\Theta,\varphi$ , то наиболее общим центрально-симметрическим выражением для $ds^2$ ($ds$ -метрика пространственно-временного интервала) является

$$ds^2=h(r,t)dr^2+k(r,t)(\sin^2\Theta\cdot d\varphi^2+d\Theta^2)+l(r,t)dt^2+a(r,t)drdt,$$ (3.218)

где $a,h,k,l$ -некоторые функции от к радиус-векторак $r$ и к временик $t$ . Но, ввиду произвольности в выборе системы отсчета в общей теории относительности, мы можем еще подвергнуть координаты любому преобразованию, не нарушающему центральной симметрии $ds^2$ , это значит, что мы можем преобразовать координаты $r$ и $t$ посредством формул

$$r=f_{1}(r^{\prime},t^{\prime}), t=f_{2}(r^{\prime},t^{\prime}),$$

где $f_{1},f_{2}$ -любые функции от новых координат $r^{\prime}, t^{\prime}$ .

Воспользовавшись этой возможностью, мы выберем координату $r$ и время $t$ таким образом, чтобы, во-первых, коэффициент $a(r,t)$ при $dr dt$ в выражении для $ds^2$ обратился в нуль и, во-вторых, коэффициент $k(r,t)$ был равен просто - $r^2$ . Последнее означает, что радиус-вектор $r$ определен таким образом, чтобы длина окружности с центром в начале координат была равна $2\pi r$ (элемент дуги окружности в плоскости $\Theta=\pi/2$ равен $dl=rd\varphi$ ). Величины $h$ и $l$ нам будет удобно писать в экспоненциальном виде, соответственно как $e^{\lambda}$ и $c^2e^{\nu}$ , где $\lambda$ и $\nu$ -некоторые функции от $r$ и $t$ . Таким образом, получим для $ds^2$ следующее выражение:

$$ds^2=e^{\nu}c^2dt^2-r^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta\cdot d\varphi^2)-e^{\lambda}dr^2.$$ (3.219)

Подразумевая под $x^0,x^1,x^2,x^3$ соответственно координаты $ct, r, \Theta, \varphi$ , мы имеем, следовательно, для отличных от нуля компонент метрического тензора выражения

$$g_{00}=e^{\nu}, g_{11}=-e^{\lambda}, g_{22}=-r^2, g_{33}=-r^2\sin^2\Theta.$$

Очевидно, что

$$g^{00}=e^{-\nu}, g^{11}=-e^{-\lambda}, g^{22}=-r^{-2}, g^{33}=-r^{-2}\sin^{-2}\Theta.$$

C помощью этих значений легко вычислить по формуле для символов Кристоффеля $\Gamma^i_{kl}=g^{im}\Gamma_{m,kl}$ метрический тензор:

$$\Gamma^{I}_{kl}=\frac{1}{2} g^{im}\left(\frac{\partial g_{mk}}{\p... ...\partial g_{il}}{\partial x^{k}}-\frac{\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}\right).$$ (3.220)

Вычисление приводит к следующим выражениям (штрих означает дифференцирование по $r$ , а точка над буквой - дифференцирование по $ct$ ):

$$\begin{array}{ccc} \Gamma_{11}^{1}=\frac{\lambda^{\prime}}{2}... ...{2}, & \Gamma_{33}^{1}=-r\sin^2\Theta e^{-\lambda}. \end{array}$$ (3.221)

Все остальные компоненты $\Gamma_{kl}^{i}$ (кроме тех, которые отличаются от написанных перестановкой индексов $k$ и $l$ ) равны нулю.

Для составления уравнений надо вычислить компоненты тензора кривизны пространства $R^{i}_{k}$ .

$$R_{ik}=\frac{\partial\Gamma^{l}_{ik}}{\partial x^{l}}-\frac{\part... ...{\partial x^{k}}+\Gamma^{l}_{ik}\Gamma^{m}_{lm}-\Gamma^{m}_{il}\Gamma^{l}_{km}.$$ (3.222)

Простые вычисления приводят в результате к следующим уравнениям:

$$\frac{8\pi k}{c^4}T^{1}_{1}=-e^{-\lambda}\left(\frac{\nu^{\prime}}{r}+\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2},$$ (3.223)

$$\frac{8\pi k}{c^4}T^{2}_{2}=\frac{8\pi k}{c^4}T^{3}_{3}=-\frac{1}... ...\lambda\!+\!\frac{\dot \lambda^2}{2}\!-\!\frac{\dot \lambda\dot \nu}{2}\right),$$ (3.224)

$$\frac{8\pi k}{c^4}T^{0}_{0}=-e^{-\lambda}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{\lambda^{\prime}}{r}\right)+\frac{1}{r^2},$$ (3.225)

$$\frac{8\pi k}{c^4}T^{1}_{0}=-e^{-\lambda}\frac{\dot \lambda}{r}$$ (3.226)

остальные компоненты уравнения гравитационного поля (уравнения Эйнштейна)

$$R^{k}_{i}-\frac{1}{2}\delta^{k}_{i}R=\frac{8\pi k}{c^4}T^{k}_{i}$$ (3.227)

тождественно обращаются в нуль.

Уравнения (3.223--3.226) могут быть проинтегрированы до конца в очень важном случае центрально-симметрического поля в пустоте, т.е. вне создающих его масс. Полагая тензор энергии-импульса равным нулю, получим следующие уравнения:

$$e^{-\lambda}\left(\frac{\nu^{\prime}}{r}+\frac{1}{r^2}\right)-\frac{1}{r^2}=0,$$ (3.228)

$$e^{-\lambda}\left(\frac{\lambda^{\prime}}{r}-\frac{1}{r^2}\right)+\frac{1}{r^2}=0,$$ (3.229)

$$\dot \lambda=0$$ (3.230)

Уравнение (3.224) можно не выписывать, так как оно является следствием трех остальных уравнений.

Из (3.223--3.226 ) мы видим, что $\lambda$ не зависит от времени. Далее, складывая уравнения (3.228--3.229), находим $\lambda^{\prime}+\nu^{\prime}=0$ , т.е.

$$\lambda+\nu=f(t),$$ (3.231)

где $f(t)$ - функция только от времени. Но выбрав интервал $ds^2$ в виде (3.219), мы оставили за собой еще возможность произвольного преобразования времени вида $t=f(t^{\prime})$ . Такое преобразование эквивалентно прибавлению к $\nu$ произвольной функции времени, и с его помощью можно всегда обратить $f(t)$ в (3.231) в нуль.Итак, не ограничивая общности, мы можем считать, что $\lambda+\nu=0$ . Отметим, что центрально-симметрическое гравитационное поле в пустоте автоматически оказывается статическим.

Уравнение (3.229) легко интегрируется и дает:

$$e^{-\lambda}=e^{\nu}=1+\frac{const}{r}.$$ (3.232)

Как и следовало, на бесконечности $(r\to\infty)\; e^{-\lambda}=e^{\nu}=1$ , т.е. вдали от гравитирующих тел, метрика автоматически оказывается галилеевой. Постоянную $const$ легко выразить через массу тела,потребовав, чтобы на больших расстояниях, где поле слабо, имел место закон Ньютона. Именно, мы должны иметь $g_{00}=1+\frac{2\varphi}{c^2}$ , где потенциал $\varphi$ равен своему ньютоновскому выражению $\varphi=-km/r$ (m-полная масса создающего поле тела). Отсюда видно, что $const=-2km/c^2$ . Эта величина имеет размерность длины; ее называют гравитационным радиусом тела $r_{g}$ :

$$r_{g}=\frac{2km}{c^2}.$$ (3.233)

В нерелятивистской механике движение частицы в гравитационном поле определяется функцией Лагранжа

$$L=\frac{mv^2}{2}-m\varphi,$$

где $\varphi$ -некоторая функция координат и времени, характеризующая поле и называемая гравитационным потенциалом. Напишем ее теперь в виде

$$L=-mc^2+\frac{mv^2}{2}-m\varphi,$$

прибавив постоянную $-mc^2$ . Это надо сделать для того, чтобы нерелятивистская функция Лагранжа в отсутствие поля $L=-mc^2+mv^2/2$ была в точности той, в которую переходит соответствующая релятивистская функция $L=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$ в пределе при $v/c\to 0$ .

Нерелятивистское действие $S$ для частицы в гравитационном поле, следовательно, имеет вид

$$S=\int Ldt=-mc\int \left(c-\frac {v^2}{2c}+\frac{\varphi}{c}\right)dt.$$

Сравнивая это с выражением $S=-mc\int ds$ , мы видим, что в рассматриваемом предельном случае

$$ds=\left(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\varphi}{c}\right)dt.$$

Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при $c\to\infty$ в нуль, находим:

$$ds^2=(c^2+2\varphi)dt^2-d{\bf r}^2 ,$$ (3.234)

где мы учли, что ${\bf v}dt=d{\bf r}$ .

Таким образом, компонента $g_{00}$ метрического тензора в предельном случае равна

$$g_{00}=1+\frac{2\varphi}{c^2}.$$ (3.235)

Таким образом, окончательно находим пространственно-временную метрику в виде:

$$ds^2=\left(1-\frac{r_{g}}{r}\right)c^2dt^2-r^2(sin^2\Theta d\varphi^2+d\Theta^2)-\frac{dr^2}{1-\frac{r_{g}}{r}}.$$ (3.236)

Это решение уравнений Эйнштейна было найдено К. Шварцшильдом (1916)[17]. Им полностью определяется гравитационное поле в пустоте, создаваемое любым центрально-симметрическим распределением масс. Подчеркнем, что это решение справедливо не только для покоящихся, но и для движущихся масс, если только движение тоже обладает должной симметрией (скажем, центрально-симметрические пульсации). Отметим, что метрика (3.234) зависит только от полной массы гравитирующего тела, как и в аналогичной задаче ньютоновской теории.