2.9.  Кеплерово движение, канонические преобразования, уравнение Гамильтона-Якоби

Рассмотрим движение, при котором МТ притягивается к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра. В этом случае в полярных координатах

$$H=\frac{1}{2}\left(p^2_{r}+\frac{p_{\varphi}^2}{r^2}\right)+\frac{\alpha}{r}\qquad (\alpha<0)$$ (2.206)

Полное определение движения заряда в кулоновом поле удобнее всего производить, исходя из уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем полярные координаты $r,\varphi$ в плоскости движения. Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид

$$-\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\alpha}{r... ...\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^2+c^2=0$$ (2.207)

Ищем $S$ в виде

$$S=-{\cal E}t+M\varphi+f(r),$$

где ${\cal E}$ и $M$ -постоянные энергия и момент импульса. Используя результаты [16] находим:

$$S=-{\cal E}t+M\varphi+\int\frac{-(M/r^2)}{\sqrt{\frac{1}{c^2}\left({\cal E}-\frac{\alpha}{r}\right)^2-\frac{M^2}{r^2}-c^2}}\cdot dr.$$ (2.208)

$$\int\frac{-(M/r^2)dr}{\frac{1}{c}\sqrt{\left({\cal E}^2-2\frac{\alpha{\cal E}}{r}+\frac{\alpha^2}{r^2}\right)-\frac{M^2c^2}{r^2}-c^4}}$$ (2.209)

$$c\int\frac{-(M/r^2)dr}{\sqrt{C+2B\frac{1}{r}-A\frac{1}{r^2}}}$$ (2.210)

где $C=({\cal E}^2-c^4)$ ,     $B=-\alpha{\cal E}$ ,     $A=(c^2M^2-\alpha^2)$ , тогда, обозначив за $x=\frac{1}{r}$ и $dx=-\frac{1}{r^2}dr$ , получим

$$cM\int\frac{dx}{\sqrt{C+2Bx-Ax^2}}$$ (2.211)

$$\frac{cM}{\sqrt{A}}\int\frac{dx}{\sqrt{L+2Kx-x^2}}$$

где $L=\frac{({\cal E}^2-c^4)}{(c^2M^2-\alpha^2)}$ и $K=\frac{-\alpha{\cal E}}{(c^2M^2-\alpha^2)}$ . Вычислив интеграл, получим

$$\arccos\frac{x-K}{\sqrt{K^2+L}}=\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}$$

$$x-K=\sqrt{K^2+L}\cdot\cos\left(\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}\right)$$ (2.212)

$$\frac{1}{r}=\frac{-\alpha{\cal E}}{(c^2M^2-\alpha^2)}+\sqrt{\left... ...4)}{(c^2M^2-\alpha^2)}}\cos\left(\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}\right)$$ (2.213)

Приводя подкоренное выражение к общему знаменателю и раскрывая скобки в его числителе после несложных преобразований получим

$$(c^2M^2-\alpha^2)\frac{1}{r}=c\sqrt{({\cal E}M)^2-c^2(c^2M^2-\alpha^2)}\cos\left(\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}\right)-\alpha{\cal E}$$ (2.214)

Из уравнения (2.212) находим

$$\frac{1}{r}=K\left[1+\sqrt{1+\frac{L}{K^2}}\cdot\cos\left(\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}\right)\right]$$

и разрешив его относительно $r$ , получим для траектории уравнение коническогго сечения, в одном из фокусов которого расположен центр притяжения:

$$r=\frac{p}{1+e\cos\left(\varphi\sqrt{1-\frac{\alpha^2}{c^2M^2}}\right)},$$ (2.215)

где параметр и эксцентриситет конического сечения определяются из равенств

$$p=\frac{1}{K}=\frac{(c^2M^2-\alpha^2)}{-\alpha{\cal E}},\quad e=\... ...{K^2}}= \sqrt{1+\frac{({\cal E}^2-c^4)(c^2M^2-\alpha^2)}{(-\alpha{\cal E})^2}}.$$ (2.216)

Если МТ описывает замкнутую орбиту, то эта орбита-эллипс, в одном из фокусов которого находится центр притяжения. Обозначив через $F$ и $a,b (a>b)$ площадь и полуоси эллипса, найдем (поскольку, как известно, $p=b^2/a$ )

$$\frac{F^2}{a^3}=\frac{\pi^2a^2b^2}{a^3}=\pi^2p.$$

Пусть $\tau$ -период (время обращения), $\tau=2F/\sqrt{p^2_{\varphi}}$ . Тогда на основании равенств (2.216)

$$\frac{\tau^2}{4a^3}=\frac{F^2}{a^5}=\frac{\pi^2p}{p^2_{\varphi}}=\frac{\pi^2(-q)}{\alpha},$$ (2.217)

где, согласно закону Кулона, величина ($\alpha/-q$ ) зависит только от центра притяжения.