2.8.  Движение в поле центральных сил

МТ, имеющая заряд $-q$ и движущаяся в поле центральных сил точечного заряда $+q$ , представляет собой консервативную систему, так как внешнее поле потенциально и стационарно. Поэтому при движении МТ сохраняется не только ее момент импульса, но и сумма потенциалов кинетического и положения $W=T_{k}+E_{p}=const$ . Кинетический потенциал $T_{k}$ можно представить в виде $T_{k}=\frac{v^2_{r}}{2}+\frac{v^2_{\varphi}}{2}$ , где

$$\frac{{v_{r}}^{2}}{2}$$ (2.198)

$v_{r}$ -радиальная, а $v_{\varphi}$ -трансверсальная скорости

$$\frac{{v_{\varphi}}^{2}}{2}$$ (2.199)

$$T_{k}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\left(r\frac{... ...frac{1}{2}\left[\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\left(\frac{M}{r}\right)^2\right].$$ (2.200)

Подставив это выражение $T_{k}$ в уравнение для $W$ и разрешив полученное выражение относительно $dr/dt$ , получим

$$\frac{dr}{dt}=\sqrt{2(W-E_{p})-\left(\frac{M}{r}\right)^2}.$$ (2.201)

Из соотношения $M=rv_{\varphi}=r^2\frac{d\varphi}{dt}$ следует, что $d\varphi/dt=M/r^2$ . Таким образом,

$$d\varphi=\frac{M/r^2}{\sqrt{2(W-E_{p})-\left(\frac{M}{r}\right)^2}} dr ,$$ (2.202)

$$\varphi=-\int\frac{d(M/r)}{\sqrt{2(W-E_{p})-\left(\frac{M}{r}\right)^2}}.$$ (2.203)

Поскольку в данном случае $E_{p}=\alpha/r$ , где $\alpha=-qq_{0}/4\pi\varepsilon_{0}$ , то

$$\varphi=-\int\frac{d(M/r)}{\sqrt{2W-2\alpha/r-\left(\frac{M}{r}\r... .../r+\alpha/M)}{\sqrt{\left[2W+(\alpha/M)^2\right]-\left[M/r+\alpha/M\right]^2}}.$$ (2.204)

Интеграл (2.204) сводится к табличному, если ввести обозначения

$$\frac{M}{r}+\frac{\alpha}{M}=\eta,\qquad 2W+\left(\frac{\alpha}{M}\right)^2=a^2$$

так что

$$\varphi=-\int\frac{d\eta}{\sqrt{a^2-\eta^2}}=arccos\frac{\eta}{a}+\varphi_{0} ,$$ (2.205)