2.7.  Тонкая структура уровней энергии атома водорода

Чтобы найти уровни потенциала электрона с учетом релятивистской поправки на изменение кинетического потенциала со скоростью с учетом спина, необходимо решить задачу для атома водорода с помощью уравнения Дирака. При наличии потенциала положения $e^2/(4\pi\varepsilon_{0}r)$ электрона в кулоновском поле протона уравнение Дирака имеет вид

$$[\hat E-c({\bf a}\cdot\hat{\bf p})-c^2\rho_{3}+e^2/(4\pi\varepsilon_{0}r)]\Psi=0$$ (2.162)

Для того чтобы при вычислении воспользоваться результатами предыдущего параграфа, удобно от уравнения первого порядка (2.162) перейти к уравнению второго порядка, т.е. "квадрировать" уравнение (2.162). Квадрированное уравнение содержит все решения уравнения первого порядка, поскольку оно получается из этого уравнения с помощью операций дифференцирования. Но могут появиться и другие решения, которые уравнению первого порядка не удовлетворяют; эти побочные решения должны быть отброшены.

Для "квадрирования" уравнения Дирака (2.162) применим к нему слева оператор

$$\hat E+c({\bf a}\cdot\hat{\bf p})+c^2\rho_{3}+e^2/(4\pi\varepsilon_{0}r).$$ (2.163)

В результате получается уравнение

$$\left[\left(-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}+\frac{e^2... ...frac{ie^2c\hbar}{4\pi\varepsilon_{0}r^3}({\bf\alpha}\cdot{\bf r})\right]\Psi=0,$$ (2.164)

где учтены свойства матриц $\alpha_{\mu}$ , выражаемые равенствами (2.100) и (2.101) , и принято во внимание, что

$$(1/r)\nabla-\nabla(1/r)=-grad(1/r)={\bf r}/r^3.$$ (2.165)

Будем искать стационарное решение и положим

$$\Psi({\bf r},t)=\Psi({\bf r})e^{-i(E+c^2)t/\hbar}.$$ (2.166)

Тогда в уравнении (2.164) исключаются производные по времени и для определения $E$ получается уравнение

$$\left[\left(E+c^2+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_{0}r}\right)^2-c^2\h... ...frac{ie^2c\hbar}{4\pi\varepsilon_{0}r^3}({\bf\alpha }\cdot{\bf r})\right]\Psi=0$$ (2.167)

Дальнейшие вычисления удобно вести в сферических координатах, перейдя к ним по формулам

$$x=r\sin\Theta\cos\varphi, \quad y=r\sin\Theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\Theta.$$ (2.168)

С помощью выражения (2.102) для матриц $a_{\mu}$ можно уравнение (2.167) расписать в виде системы уравнений относительно компонент волновой функции:

$$\begin{array}{rcl} D^2_{0}\Psi_{1}+\frac{i\alpha}{r^2}(\sin\T... ...eta e^{i\varphi}\Psi_{1}-\cos\Theta\Psi_{2})&=&0, \end{array}$$ (2.169)

где $D^2_{0}$ -oбщая для всех компонент волновой функции часть оператора в уравнении (2.167), совпадающая с оператором уравнения Клейна-Гордона (2.147) для бесспиновой частицы:

$$D^2_{o}=\nabla^2+\frac{1}{c^2\hbar^2}\left[\left(E+c^2+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_{0}r}\right)^2-c^4\right].$$ (2.170)

Величина $\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_{0}\hbar c)$ в системе уравнений (2.169) есть постоянная тонкой структуры, $e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\sin\varphi$ .

Будем искать решение системы (2.169) в виде

$$\left( \begin{array}{c} \Psi_{1} \Psi_{2} \Psi_{3} \Psi_... ...-m)Y^m_{l} i\beta Y^{m-1}_{l+1} -i\beta Y^m_{l+1} \end{array} \right),$$ (2.171)

где $Y^m_{l}$ -сферические функции, определяемые по формуле

$$Y^m_{l}(\Theta,\varphi)= \left[ \frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!} \right]^{1/2}e^{im\varphi}\times P^m_{l}(\cos\Theta)$$ (2.172)

где $P^m_{l}$ -присоединенные функции Лежандра, но без нормировочного множителя:

$$\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}.$$ (2.173)

Таким образом, сферические функции $Y^m_{l}$ в (2.171) нормированы условием

$$\int Y^m_{l}Y^{m\prime}_{l\prime}d\Omega = \frac{4\pi(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}\delta_{ll^\prime}\delta_{mm^\prime} .$$ (2.174)

Отметим еще раз, что функции $Y^m_{l}$ в (2.171) отличаются от собственных значений операторов $\hat L^2$ и $\hat L_{z}$ соответственно равных

$$L^2=\hbar l(l+1) \qquad (l=0,1,2,\cdots)$$ (2.175)

и

$$L_{z}=\hbar m \qquad (m=0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm l)$$ (2.176)

нормированными множителями, так что не следует путать эти функции, хотя они и обозначены одинаково. Постоянная $\beta$ в формулах (2.171) остается пока неопределенной.

В теории сферических функций доказываются следующие рекуррентные соотношения:

$$(l+m)Y^{m-1}_{l}=-\sin\Theta e^{-i\varphi}Y^m_{l+1}+\cos\Theta Y^{m-1}_{l+1},$$ (2.177)

$$(l+1-m)Y^m_{l}=\sin\Theta e^{i\varphi}Y^{m-1}_{l+1}+\cos\Theta Y^m_{l+1}.$$ (2.178)

Подставляя выражения (2.171) для компонент волновых функций в систему уравнений (2.169) и пользуясь рекуррентными соотношениями (2.177) и (2.178), получаем уравнения для определения радиальной функции:

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\left[-A+\frac{2B}{r}-\frac{l(l+1)-\alpha^2+\alpha\beta}{r^2}\right]R=0,$$ (2.179)

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\left[-A+\frac{2B}{r}-\frac{(l+1)(l+2)-\alpha^2-\alpha/\beta}{r^2}\right]R=0,$$ (2.180)

где $A$ и $B$ даются выражениями (2.150) и (2.151) при $Z=1$ т.е.

$$A=\frac{c^2}{\hbar^2}\left[1-\left(1+\frac{E}{c^2}\right)^2\right],$$ (2.181)

$$2B=\frac{2e^2}{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^2}\left(1+\frac{E}{c^2}\right).$$ (2.182)

Уравнения (2.179) и (2.180) должны совпадать друг с другом, потому что это уравнения для одной и той же волновой функции. Отсюда получаем уравнение для определения $\beta$

$$l(l+1)-\alpha^2+\alpha\beta=(l+1)(l+2)-\alpha^2-\alpha/\beta,$$ (2.183)

решение которого

$$\beta=(l+1)/\alpha\pm\sqrt{(l+1)^2/\alpha^2-1}.$$ (2.184)

Подставляя это выражение в (2.179) или (2.180), можно уравнение для радиальной функции представить в виде, аналогичном (2.156):

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\left[-A+\frac{2B}{r}-\frac{l^{\prime\prime}(l^{\prime\prime}+1)}{r^2}\right]R=0,$$ (2.185)

где

$$l^{\prime\prime}= \sqrt{(l+1)^2-\alpha^2}-1/2\pm1/2,$$ (2.186)

причем знаки плюс и минус перед $1/2$ в формуле (2.186) соответствуют знакам плюс и минус перед корнем в выражении (2.184). Решение уравнения (2.185) аналогично решению уравнения (2.156). В результате для уровней энергии вместо формулы (2.158) получаем

$$E_{kl}=c^2\left[1+\frac{\alpha^2}{(k+1/2\pm1/2+\sqrt{(l+1)^2-\alpha^2})^2}\right]^{-1/2}-c^2.$$ (2.187)

Разлагая эти выражения в ряд по постоянной тонкой структуры и ограничиваясь первыми двумя членами, находим следующие формулы при отрицательном и положительном знаках перед $1/2$ в формуле (2.187):

$$E_{nl}=-\frac{e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{l+1}-\frac{3}{4}\right)\right]$$

$$n=k+l+1,\; \alpha^2\to 0,\; l^{\prime\prime}\to l, \;\beta=\alpha/[2(l+1)],$$ (2.188)

$$E_{nl}=-\frac{e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar}\cdot\frac{1}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{l+1}-\frac{3}{4}\right)\right]$$

$$n=k+l+2,\;\alpha^2\to 0,\;l^{\prime\prime}=l+1,\;\beta=2(l+1)/\alpha,$$ (2.189)

Чтобы выяснить смысл различных решений, заметим, что система уравнений (2.169) инвариантна относительно замены компонент волновой функции $\Psi_{1}\leftrightarrow\Psi_{3},\Psi_{2}\leftrightarrow\Psi_{4}$ . Это означает, что волновая функция

$$\Psi^\prime=\left( \begin{array}{l} \Psi^\prime_{1} \Psi^\prime... ...egin{array}{l} \Psi_{3} \Psi_{4} \Psi_{1} \Psi_{2} \end{array} \right)$$ (2.190)

также является решением системы уравнений (2.169).

Как уже было отмечено, не все решения квадрированного уравнения будут решениями исходного уравнения первого порядка. Для того чтобы из рещений квадрированного уравнения выделить решения, удовлетворяющие уравнению первого порядка, учтем, что в нерелятивистском случае компоненты $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ волновой функции стремятся к нулю. Переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности, при этом постоянная тонкой структуры $\alpha\to 0$ . Следовательно, формально переход к нерелятивистскому случаю в полученных в этом разделе формулах сводится к переходу $\alpha\to o$ .

Рассмотрим решение (2.188). При $\alpha\to 0$ в этом решении $\beta\to 0$ . Это соответствует $\Psi_{3}\to 0$ и $\Psi_{4}\to 0$ ,если решение взято в виде (2.171). Таким образом, решение (2.188) соответствует волновой функции (2.171). При $\alpha\to 0$ в решении (2.189) $\beta\to\infty$ , т.е. волновые функции $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ велики в сравнении с волновыми функциями $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$ . Поэтому решение (2.189) не соответствует волновой функции (2.171). Нетрудно видеть, что это решение соответствует волновой функции $\Psi^\prime$ (2.190): при $\alpha\to 0$ компоненты $\Psi^\prime_{3}=\Psi_{1}$ и $\Psi^\prime_{4}=\Psi_{2}$ малы по сравнению с $\Psi^\prime_{1}=\Psi_{3}$ и $\Psi^\prime_{2}=\psi_{4}$ . Таким образом, решение (2.189) относится к волновой функции (2.190). Эту формулу удобно путем замены $l+1\to l$ переписать в виде

$$E_{nl}=-\frac{e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{l}-\frac{3}{4}\right)\right]$$

$$(n=k+l+1,\qquad l=1, 2, 3,\cdots),$$ (2.191)

Можно показать, что в случае решений (2.188) и (2.191) квантовое число полного момента $j$ электрона связано с $l$ соответственно формулами

$$j=l+1/2 \qquad (l=0,1,2,\cdots),$$ (2.192)

$$j=l-1/2 \qquad (l=1,2,3,\cdots).$$ (2.193)

Поэтому фыражения (2.188) и (2.191) можно записать в виде одной формулы:

$$E_{nj}=-\frac{e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{j+1/2}-\frac{3}{4}\right)\right].$$ (2.194)

Формула (2.194) дает выражение для потенциала с учетом тонкой структуры термов атома водорода:

каждый уроверь с главным числом $n$ расщепляется на несколько подуровней по числу значений квантового числа $j$ при данном $n$ .

Расщепление уровней имеет порядок $\alpha^2=(1/137)^2$ относительно потенциала уровней. Рассмотрим в качестве примера расщепление между уровнем $n=2$ , $j=1/2$ (состояния атома водорода $2\:{}^2S_{1/2}$ и $2\:{}^2P_{1/2}$ ) и уровнем $n=2, j=3/2$ (состояние атома водорода $2\:{}^2P_{3/2}$ ). Из формулы (2.194) следует

$$\Delta E=E_{2,3/2}-E_{2,1/2}=\alpha^2\vert E_{2}\vert/(2n)\approx4,5\cdot10^{-5} \; \mbox {э}B,$$ (2.195)

где

$$\vert E_{2}\vert=\frac{e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2}\frac{1}{4}$$ (2.196)

- модуль потенциала электрона на уровне $n=2$ без учета тонкой структуры.

В пересчете на частоты расщепление уровней (2.195) равно

$$\Delta\nu=\Delta\omega/(2\pi)=\Delta E/(2\pi\hbar)=1,10\cdot10^4\; \mbox {МГц}.$$ (2.197)

Экспериментальные наблюдения находятся в полном согласии с формулой (2.194), из которой видно, что потенциал электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа $n$ и квантового числа полного момента $j$ . Отсюда следует, что уровни $2\:{}^2S_{1/2}$ и $2\:{}^2P_{1/2}$ должны точно совпадать. Однако уже в $30$ -х годах у спектроскопистов закрались сомнения в справедливости этого утверждения, которые удалось проверить лишь в 1947г. Оказалось, что эти уровни не совпадают и в формулу (2.194) необходимо ввести поправку. Анализ этого вопроса привел к исследованию физических свойств вакуума.