2.6.  Релятивистские эффекты в атомной физике

Уровни потенциала бесспиновой частицы в кулоновском поле. Релятивистские эффекты приводят к изменению уровней потенциала частицы, движущейся в кулоновском поле.Чтобы проанализировать этот эффект, рассмотрим бесспиновую частицу, движущуюся в кулоновском поле ядра. Допустим, что инертность ядра, вокруг которого движется бесспиновая частица, много больше инертности этой частицы. Благодаря этому ядро иожно считать неподвижным. Соотношение между полным потенциалом, количеством движения и потенциалом положения в кулоновском поле имеет вид

$$E=c\sqrt{\hat p^2+c^2}-Ze^2/(4\pi\varepsilon_{0}r),$$ (2.143)

где $Ze$ -заряд ядра, $e$ -заряд частицы, $c$ -скорость света. Отсюда получаем операторное равенство

$$[\hat{E}+Ze^2/(4\pi\varepsilon_{0}r)]^2=c^2\hat{p^2}+c^4,$$ (2.144)

которое приводит к уравнению Клейна-Гордона для частицы в кулоновском поле ядра:

$$\left[\left(-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}+\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_{0}r}\right)^2+c^2\hbar^2\nabla^2-c^4\right]\Psi=0.$$ (2.145)

Полагая

$$\Psi({\bf r},t)=\Psi({\bf r})e^{-i(E+c^2)t/\hbar},$$ (2.146)

получаем релятивистское уравнение стационарных состояний:

$$\nabla^2\Psi+\frac{1}{c^2\hbar^2}\left[\left(E+c^2+\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_{0}r}\right)^2-c^4\right]\Psi=0.$$ (2.147)

Здесь $E$ -потенциал электрона без потенциала, соответствующего покою (т.е. при $c=0$ ). Решение этого уравнения проводится аналогично решению нерелятивистского уравнения Шредингера. Полагая

$$\Psi=R(r)Y^m_{l}(\Theta,\varphi),$$ (2.148)

находим для радиальной волновой функции $R$

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\left[-A+\frac{2B}{r}-\frac{l(l+1)-\alpha^2Z^2}{r^2}\right]R=0,$$ (2.149)

где

$$A=\frac{c^2}{\hbar^2}\left[1-\left(1+\frac{E}{c^2}\right)^2\right],$$ (2.150)

$$2B=\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^2}\left(1+\frac{E}{c^2}\right),$$ (2.151)

$\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_{0}c\hbar)$ -постоянная тонкой структуры. Чтобы перейти к нерелятивистскому случаю, надо учесть, что $E«c^2$ . Поэтому вместо формул (2.150) и (2.151) получаем

$$A=-2E/\hbar^2,\qquad 2B=2Ze^2/(4\pi\varepsilon_{0}\hbar^2),$$ (2.152)

что совпадает с выражениями этих величин в нерелятивистской теории.

Очевидно, что переход к нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности $(c \to \infty)$ . Следовательно, при этом переходе необходимо считать, что постоянная тонкой структуры $\alpha$ стремится к нулю, поскольку в ее выражении скорость света входит в знаменатель. Таким образом, релятивистское уравнение (2.149) в нерелятивистском случае переходит в уравнение

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dR}{dr}\right)+\left[\fr... ...\left(E+ \frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_{0}r}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R=0.$$ (2.153)

Чтобы для решения уравнения (2.149) воспользоваться результатами решения нерелятивистского уравнения (2.153), введем число $l^{\prime}$ по формуле

$$l^{\prime}(l^{\prime}+1)=l(l+1)-\alpha^2Z^2$$ (2.154)

откуда

$$l^{\prime}=-1/2\pm\sqrt{(l+1/2)^2-\alpha^2Z^2}.$$ (2.155)

С помощью $l^{\prime}$ уравнение (2.149) записывается следующим образом

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)+\left[-A+\frac{2B}{r}-\frac{l^{\prime}(l^{\prime}+1)}{r^2}\right]R=0,$$ (2.156)

Это уравнение совпадает с нерелятивистским уравнением (2.153). Надо лишь потребовать, чтобы в качестве $l^{\prime}$ было взято положительное значение корня в (2.155), т.е. значение со знаком плюс перед корнем, считая, что $Z\alpha<1/2$ . Тогда при решении уравнения (2.156) можно повторить буквально все утверждения, которые были сделаны при решении (2.153) с заменой $l$ на $l^{\prime}$ . Условие обрыва ряда

$$B/\sqrt{A}-l-1-k=0$$

принимает вид

$$B/\sqrt{A}-l^{\prime}-1-k=B/\sqrt{A}-1/2-\sqrt{(l+1/2)^2-\alpha^2Z^2}-k=0.$$ (2.157)

Это условие обрыва ряда является условием квантования энергии.

Выражая в (2.157) величины $A$ и $B$ по формулам (2.150) и (2.151), получаем следующие формулы для уровней потенциала бесспиновой частицы в кулоновском поле ядра:

$$E_{kl}=\left[1+\frac{\alpha^2Z^2}{(k+1/2+\sqrt{(l+1/2)^2-\alpha^2Z^2})^2}\right]^{-1/2}\times c^2-c^2.$$ (2.158)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить в ряд по $\alpha^2Z^2«1$ .

Сохраняя первые два члена, не равные нулю, находим

$$E_{nl}=\frac{Z^2e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2}\frac{1}{n^2}\left[1+\frac{\alpha^2Z^2}{n^2}\left(\frac{n}{l+1/2}-\frac{3}{4}\right)\right],$$ (2.159)

где $n=l+k+1$ -главное квантовое число. Главный член этой формулы совпадает с выражением

$$E_{n}=-\frac{Z^2e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2}\frac{1}{n^2}$$ (2.160)

для уровней потенциала частицы в нерелятивистской теории. Член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры $\alpha^2=(1/137)^2$ , дает релятивистскую поправку к уровням кинетического потенциала, обусловленную величиной $1/\sqrt{1-(v/c)^2}$ .

Принципиальное отличие формулы (2.159) для атома водорода от нерелятивистской формулы состоит в том, что в релятивистском случае кинетический потенциал зависит от орбитального квантового числа, т.е. снимается вырождение по $l$ . Благодаря этому каждый потенциальный уровень с главным квантовым числом $n$ расщепляется на $n$ подуровней, соответствующих значениям $l$ от 0 до $n-1$ . Расщепление потенциальных уровней пропорционально $\alpha^2$ , т.е. мало. Оно приводит к расщеплению соответствующих линий излучения и порождает тонкую структуру линий излучения. С помощью формулы (2.159) нетрудно подсчитать расщепление линий излучения. В частности, для дублетного расщепления серии Бальмера $(n=2)$ получается формула

$$\Delta\omega=(E_{21}-E_{20})/\hbar=\alpha^2e^4/(192\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^3).$$ (2.161)

Эта величина примерно в три раза превосходит величину, полученную для расщепления соответствующей линии излучения атома водорода из эксперимента. Причиной этого расхождения является наличие у электрона спина, который не учитывается уравнением Клейна-Гордона. Тонкая структура линий излучения обусловливается не только релятивистским эффектом зависимости кинетического потенциала от скороси, который учитывается формулой (2.159), но и наличием спина у электрона. Спин несколько ослабляет релятивистский эффект расщепления уровней. Это еще раз подтверждает, что уравнение Клейна-Гордона непригодно для описания частиц с ненулевым спином.

Мы рассмотрели случай $Z\alpha<1/2$ , когда $l^\prime$ в уравнении (2.156) положительно. Если же $Z\alpha>1/2$ , то $l^\prime$ не может быть выбрано положительным и решение релятивистского уравнения принципиально отличается от решения нерелятивистского уравнения. Как показывает анализ, в этом случае происходит падение частицы на ядро и отсутствует стационарное решение. Таким образом, по уравнению Клейна-Гордона, устойчивые состояния движения частицы в кулоновском поле ядра возможны лишь для ядер, у которых $Z<137/2$ .

Как уже было отмечено при рассмотрении расщепления потенциальных уровней, спин несколько ослабляет влияние релятивистского изменения кинетического потенциала от скорости. Это приводит к тому, что релятивистские эффекты с учетом спина обусловливают неустойчивость атомов лишь для значений $Z$ , лежащих за пределами существующей периодической системы элементов.