2.5.  Волновая функция свободного электрона

В качестве примера четырехкомпонентной волновой функции рассмотрим волновую функцию свбодного электрона

$$\Psi({\bf r},t)= \left( \begin{array}{c} \Psi_{1}({\bf r},t) \... ...2}({\bf r},t) \Psi_{3}({\bf r},t) \Psi_{4}({\bf r},t) \end{array} \right)$$ (2.128)

Не ограничивая общности, можно считать, что электрон движется вдоль оси $Z$ , и положить:

$$p_{x}=p_{y}=0,\quad p_{z}\ne 0.$$ (2.129)

По аналогии с движением свободной нерелятивистской частицы будем искать решение для каждой компоненты в виде плоских волн:

$$\Psi_{i}({\bf r},t)=Ab_{i}e^{-i(Et-p_{z}z)/\hbar},$$ (2.130)

где $A$ -общая для всех компонент нормировочная постоянная. В случае нормировки на длину периодичности $L$ имеем $A=L^{-3/2}$ . Коэффициенты $b_{i}$ определяются из условия, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Дирака. Равенство

$$\Psi^{+}\Psi=A^*A(b^*_{1}b_{1}+b^*_{2}b_{2}+b^*_{3}b_{3}+b^*_{4}b_{4})$$ (2.131)

показывает, что коэффициенты $b_{i}$ должны удовлетворять следующему условию нормировки:

$$b^*_{1}b_{1}+b^*_{2}b_{2}+b^*_{3}b_{3}+b^*_{4}b_{4}=1.$$ (2.132)

Подставляя (2.130) в (2.111) и сокращая обе части всех уравнений на общий множитель $Aexp[-i(Et-p_{z}z)/\hbar]$ , находим для определения коэффициентов $b_{i}$ следующую систему уравнений:

$$\begin{array}{c} (E-c^2)b_{1}-cp_{z}b_{3}=0, (E-c^2)b_{2}+... ...b_{3}-cp_{z}b_{1}=0, (E+c^2)b_{4}+cp_{z}b_{2}=0. \end{array}$$ (2.133)

Однородная система линейных уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее детерминант равен нулю:

$$E^2-c^4-c^2p_{z}^2=0,$$ (2.134)

что является выражением релятивистской связи между полной энергией и импульсом частицы. Из (2.134) следует, что

$$E=\pm c\sqrt{p^2_{z}+c^2},$$ (2.135)

т.е. уравнение Дирака допускает для электрона как положительные полные энергии, так и отрицательные.

В случае $E>0$

$$E=c\sqrt{p^2_{z}+c^2}$$ (2.136)

и получаем следующие два линейно независимых рещения

$$\begin{multline} a) \left\{ \begin{array}{c} b_{1}=(1/\sqrt{2})\sqrt{1+c^2/E},\q... ...ad b_{4}=-(1/\sqrt{2})\sqrt{1-c^2/E}. \end{array}\right. \nonumber\end{multline}$$

(2.137)

Множитель $1/\sqrt{2}$ появляется из условия нормировки (2.132).

В случае $E<0$

$$E=-c\sqrt{p^2_{z}+c^2}$$ (2.138)

также получаются два линейно независимых решения:

$$\begin{multline} a) \left\{ \begin{array}{c} b_{1}=(1/\sqrt{2})\sqrt{1-c^2/\vert... ...1/\sqrt{2})\sqrt{1+c^2/\vert E\vert}. \end{array}\right. \nonumber\end{multline}$$

(2.139)

Обозначим в решениях (2.137) и (2.139) первую пару уравнений за состояние а), а вторую пару за состояние б). Чтобы выяснить физический смысл этих состояний, воспользуемся формулой (2.123) для собственных значений проекций спина на ось $Z$ . Учитывая, что в состоянии а) компоненты $\Psi_{2}$ и $\Psi_{4}$ обращаются в нуль, а в состоянии б) нулю равны компоненты $\Psi_{1}$ и $\Psi_{3}$ ,заключаем, что волновые функции а) описывают состояние, когда спин электрона ориентирован вдоль положительного направления оси $Z$ , а состояние б) соответствует ориентировке спина электрона вдоль отрицательного направления оси $Z$ . Таким образом, четыре линейно независимых решения (2.137) и (2.139) соответствуют четырем возможным комбинациям двух знаков полного (кинетического и положения) потенциала электрона, т.е. его полной энергии, и двум возможным направлениям ориентировки спина.

Отрицательные значения полной энергии электрона с первого взгляда представляются не имеющими физического смысла. Однако более глубокий анализ показал физическую содержательность этого понятия и привел к открытию античастицы для электрона, названной позитроном.

В нерелятивистском случае, когда ${\it v/c}\ll1$ ,

$$c^2/E=\sqrt{1-v^2/c^2}\approx1-v^2/(2c^2),$$ (2.140)

и поэтому волновые функции (2.137) и (2.139) принимают с точностью до величин $v/c$ вид для ${\it E}>0$ и ${\it E}<0$ :

$$a) \left\{ \begin{array}{c} b_{1}\approx1,\; b_{2}=0,\; b_{3}\app... ... b_{1}\approx v/(2c),\; b_{2}=0,\; b_{3}=-1,\; b_{4}=0 \end{array} \right.$$ (2.141)

$$b) \left\{ \begin{array}{c} b_{1}=0,\; b_{2}\approx1,\; b_{3}=0,\... ...1}=0,\; b_{2}\approx v/(2c),\; b_{3}=0,\; b_{4}\approx1, \end{array} \right.$$ (2.142)

т.е. в каждом из состояний существенно отличной от нуля является лишь одна компонента. Это, однако, не означвет, что в нерелятивистском случае волновая функция из четырехкомпонентной превращается в однокомпонентную волновую функцию и, следовательно, спиновые эффекты пропадают. Дело в том, отличнойот нуля являктся в каждом из состояний различная компонента. Пэтому при определении, например, среднего значения спина вдоль оси $Z$ принимается во внимание лишь одна компонента волновой функции, но эта компонента различна для различных состояний и приводит к различному результату вычислений. Переход к нерелятивистскому случаю не означает перехода к однокомпонентной волновой функции, а позволяет выянить отосительную роль различных компонент волновой функции в нерелятивистском случае

Второе замечание, связанное с переходом к нерелятивистскому случаю, заключается в следующем. Из (2.141) и (2.142) видно, что коэффициенты $b_{3}$ и $b_{4}$ в нерелятивистском случае имеют относительно коэффициентов $b_{1}$ и $b_{2}$ порядок $v/c$ по сравнению с единицей. Это означает, что функции $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ в нерелятивистском случае малы по сравнению с функциями $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$ . Это заключение имеет общий характер, как это непосредственно видно из системы уравнений (2.111): в нерелятивистском случае $E\simeq c^2$ и, следовательно, $\Psi_{3}$ и $\Psi_{4}$ малы по сравнению с $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$ .