2.4.  Уравнение Дирака ([14] стр. 385-399)

Теория Шредингера, а также теория Паули носят нерелятивистский характер. В этих теориях не принята во внимание невозможность движения материальной частицы и распространения каких-либо действий в пространстве со скоростью, превышающей скорость света. Релятивистское обобщение квантовой механики требует привлечения новых физических понятий и даже некоторого видоизменения интерпретации волнового уравнения. Это видоизменение связано с необходимостью введения помимо спина еще одной новой степени свободы электрона и с невозможностью ее истолковать, оставаясь в рамках задачи одного тела.

Однако формальная постановка задачи одного тела (электрона) в заданном внешнем электромагнитном поле - постановка, находящаяся в согласии с требованиями теории относительности, возможна. Эта формулировка была найдена Дираком, предложившим свое уравнение для электрона.

Волновое уравнение содержит только первую производную по времени. Исходя из требования релятивистской инвариантности,заключаем, что и производные по координатам должны также входить в уравнение только в виде первых производных. Принцип суперпозиции состояний требует, чтобы уравнение было линейным. В результате получается, что искомое волновое уравнение должно быть линейным дифференциальным уравнением первого порядка как по времени, так и по пространственным координатам.

Будем исходить из релятивистского соотношения между полной энергией и импульсом, которое удобно записать в виде

$$E=c\sqrt{p^2+c^2}.$$ (2.92)

Здесь, как и выше, состояние системы частиц определяется заданием положений ${\bf T}_{i j}$ и скоростей ${\bf\dot T}_{i j}={\bf p}_{i j}$ всех частиц. Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по формулам

$$E\to\hat E=-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}, \qquad E_... ...E_{\text{п}} = E_{\text{п}}, \qquad {\bf p}\to\hat{\bf p}={\hbar\over i}\nabla,$$ (2.93)

то получающееся уравнение будет уравнением первого порядка относительно времени, но не относительно производных по координатам (положениям ${\bf T}_{i j}$ ), поскольку оператор производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, необходимо произвести к линеаризациюк правой части уравнения (2.92) посредством к извлеченияк корня. Введем обозначения ${\bf p}_{i j}={\bf p}_{i}$ , т.к. с телом $j$ cовмещено начало отсчета и $i=0;1;2;3$

$$p_{0}=c,\quad p_{1}=p_{x},\quad p_{2}=p_{y},\quad p_{3}=p_{z}$$ (2.94)

и напишем формально

$$E=c\sum_{\mu=0}^3 \alpha_{\mu}p_{\mu},$$ (2.95)

где $\alpha_{\mu}$ пока не определены. Эти величины должны быть выбраны так, чтобы после возведения обеих частей равенства (2.95) в квадрат получилось релятивистское соотношение между энергией и импульсом в виде

$$E^2=c^2p^2+c^4.$$ (2.96)

Требование перехода соотношения (2.95) после его квадрирования в соотношение (2.96) дает условмя, которым должны удовлетворять $\alpha_{\mu}$ . Возводя обе части равенства (2.95) в квадрат, находим

$$E^2=c^2\sum_{\mu^\prime}\sum_{\mu}\alpha_{\mu}\alpha_{\mu^\prime}... ...\mu}\alpha_{\mu^\prime}+\alpha_{\mu^\prime}\alpha_{\mu})p_{\mu}p_{\mu^ \prime}.$$ (2.97)

Чтобы правая часть (2.97) совпадала с правой частью уравнения (2.96), которое удобно записать в виде

$$E^2=c^2(p^2_{0}+p^2_{1}+p_{2}^2+p_{3}^2),$$ (2.98)

необходимо, чтобы $\alpha_{\mu}$ удовлетворяли следующим соотношениям:

$$\alpha_{\mu}\alpha_{\mu^\prime}+\alpha_{\mu^\prime}\alpha_{\mu}=2\delta_{\mu\mu^\prime},$$ (2.99)

т.е. $\alpha_{\mu}, \alpha_{\mu^\prime}$ должны антикоммутировать друг с другом при разных значениях индексов $\mu$ и $\mu^\prime$ :

$$\alpha_{\mu}\alpha_{\mu^\prime}=-\alpha_{\mu^\prime}\alpha_{\mu} \quad (\mu\ne\mu^\prime).$$ (2.100)

Квадрат каждой из величин $\alpha_{\mu}$ должен быть равен единице:

$$\alpha_{\mu}^2=1.$$ (2.101)

Вообще говоря, для того чтобы оперировать с соотношением (2.95) не обязательно иметь явный вид величин $\alpha_{\mu}$ . Достаточно знать соотношения и (2.100) (2.101), которым эти величины удовлетворяют. Однако явный вид величин $\alpha_{\mu}$ часто бывает полезен для решения конкретных задач. Дирак предложил в качестве $\alpha_{\mu}$ взять следующие четырехрядные матрицы:

$$\alpha_{0} = \left( \begin{array}{@{\extracolsep{-3pt}}cccc@{\ext... ...racolsep{-3pt}}} 0&0&0&-i 0&0&i&0 0&-i&0&0 i&0&0&0 \end{array} \right),$$ (2.102)

$$\alpha_{3} = \left( \begin{array}{cccc} 0&0&1&0 0&0&0&-1 1&0&0&0 0&-1&0&0 \end{array} \right)$$ (2.103)

Непосредственным перемножением и сложением матриц (2.102) и (2.103) нетрудно убедиться, что они удовлетворяют соотношениям (2.100) и (2.101), понимая, что в их правой части стоит единичная матрица. Например, для $\alpha_{1}$ имеем

$$\alpha_{1}^2+\alpha_{1}^2 = \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\... ...egin{array}{cccc} 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 \end{array} \right).$$ (2.104)

Действительно,

$$\alpha_{1}^2=I,$$

где $I$ - единичная четырехрядная матрица:

$$I = \left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0 0&1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&1 \end{array} \right).$$ (2.105)

Аналогично, для $\alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$ соотношение (2.99) принимает вид

$$\begin{multline} \alpha_{2}\cdot \alpha_{3}+\alpha_{3}\cdot \alpha_{2} = \left( ... ... 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}\right). \nonumber\end{multline}$$

(2.106)

т.е. действительно

$$\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}+\alpha_{3}\cdot\alpha_{2}=0,$$

где под 0 понимается нулевая матрица:

$$0= \left( \begin{array}{cccc} 0&0&0&0 0&0&0&0 0&0&0&0 0&0&0&0 \end{array} \right).$$ (2.107)

Нетрудно проверить, что матрицы $\alpha_{\mu}$ являются эрмитовыми матрицами, для которых $\alpha_{\mu}^+=\alpha_{\mu}$ , где операция эрмитова сопряжения означает перестановку элементов матрицы в другие места, симметричные относительно главной диагонали, и взятие комплексного сопряжения к этим элементам. Например,

$$\left( \begin{array}{cc} a&b c&d \end{array} \right)^+ = \left( \begin{array}{cc} a^*&c^* b^*&d^* \end{array} \right).$$ (2.108)

С учетом (2.95) уравнение Дирака для свободной частицы может быть записано следующим образом:

$$\left[\hat E - c\sum_{\mu}\alpha_{\mu}\hat p_{\mu}\right]\Psi=0.$$ (2.109)

Поскольку $\alpha_{\mu}$ - четырехрядные матрицы, волновая функция $\Psi$ в (2.109) должна иметь четыре компоненты, которые удобно записать в виде столбца:

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \Psi_{1} \Psi_{2} \Psi_{3} \Psi_{4} \end{array} \right).$$ (2.110)

Пэтому уравнение Дирака (2.109) является системой четырех линейных уравнений относительно четырех компонент волновой функции $\Psi$ .Произведя перемножения на матрицы $\alpha_{\mu}$ , указанные в (2.109), можно эту систему уравнений записать в виде

$$\begin{array}{c} \left(\hat E-c^2\right)\Psi_{1}-c(\hat p_{x}... ...t p_{x}+i\hat p_{y})\Psi_{1}+c\hat p_{z}\Psi_{2}=0. \end{array}$$ (2.111)

Уравнение Дирака (2.109) удобно также переписать по - другому. Введем векторную матрицу ${\bf\alpha}$ , компонентами которой по осям координат являются $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ , т.е.

$${\bf\alpha}=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}).$$ (2.112)

Тогда [см.(2.109)]

$$[\hat E-c({\bf\alpha}\cdot\hat{\bf p})-c^2\rho_{3}]\Psi=0,$$ (2.113)

где матрица $\alpha_{0}$ обозначена через $\rho_{3}$ , как это принято $(\rho_{3}=\alpha_{0})$ . Выписывая в явном виде операторы $\hat E$ и $\hat{\bf p}$ , имеем

$$-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}\Psi-\frac{c\hbar}{i}({\bf\alpha}\cdot\nabla)\Psi-c^2\rho_{3}\Psi=0.$$ (2.114)

Эрмитова сопряженная волновая функция

$$\Psi^*=(\Psi^*_{1}, \Psi^*_{2},\Psi^*_{3}, \Psi^*_{4}).$$ (2.115)

Сопряженная волновая функция $\Psi^*$ ставится слева от четырехрядных матриц, чтобы соблюсти правила умножения матриц. Кроме того, необходимо везде перейти к комплексно-сопряженным величинам. Поэтому уравнение (2.114) относительно сопряженной функции имеет вид

$$+\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial t}\Psi^+ +\frac{c\hbar}{i}(\nabla\Psi^+\cdot{\bf\alpha})-c^2\Psi^+=0.$$ (2.116)

Расписав это уравнение по компонентам, получим систему уравнений, которая совпадает с системой (2.111), если в последней перейти к комплексно-сопряженным величинам.

Чтобы выяснить, чему равен спин частиц, описываемых уравнением Дирака, рассмотрим частицу, движущуюся в центрально-симметричном поле. В этом случае потенциал положения частицы зависит только от расстояния ${\bf r}={\bf T}$ до центра, т.е. имеет вид $E_{\text{п}}(r)$ .Уравнение Дирака при наличии центрально-симметричного поля $E_{\text{п}}(r)$ получается из (2.113) с добавлением члена, представляющего потенциал положения:

$$[\hat E-c({\bf\alpha}\cdot\hat{\bf p})-c^2\rho_{3}-E_{\text{п}}]\Psi=0.$$ (2.117)

Гамильтониан частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, записываетсая структура уровней энергии атома водорода я следующим образом:

$$\hat H = c({\bf\alpha}\cdot\hat{\bf p})+c^2\rho_{3}+E_{\text{п}}(r).$$ (2.118)

Некоторая величина является интегралом движения в том случае, если представляющий ее оператор коммутирует с гамильтонианом. Рассмотрим орбитальный момент импульса частицы

$$\hat {\bf L}_{l}=\hat {\bf r}\times\hat{\bf p}$$ (2.119)

при движении с гамильтонианом (2.118). Вычислим коммутатор $\hat L_{lz}$ с $\hat{H}$ :

$$\hat H\hat L_{lz}-\hat L_{lz}\hat H=\frac{c\hbar}{i}(\alpha_{1}\hat p_{y}-\alpha_{2}\hat p_{x})\ne0.$$ (2.120)

Таким образом, коммутатор орбитального момента ${\bf L}_{l}$ с гамильтонианом не равен нулю. Это означает, что орбитальный момент частицы, описываемой уравнением Дирака, не сохраняется. Следовательно, частица имеет внутренний момент, или спин. В центрально-симметричном поле сохраняется полный момент частицы, т.е. сумма ее орбитального момента и спина. Нетрудно проверить, что с гамильтонианом (2.118) коммутирует оператор

$${\bf L}_{j}={\bf L}_{l}+(\hbar/2){\bf\sigma},$$ (2.121)

где ${\bf\sigma}=(\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z})$ -векторная четырехрядная матрица, компоненты которой

$$\sigma_{x} = \left( \begin{array}{@{\extracolsep{-3pt}}cccc@{\ext... ...racolsep{-3pt}}} 1&0&0&0 0&-1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&-1 \end{array} \right),$$ (2.122)

Оператор

$$\hat {\bf L}_{s}=(\hbar/2){\bf\sigma}$$

является оператором спина. Собственные значения $Z$ -й составляющей оператора спина равны $\pm\hbar/2$ :

$$\hat{\bf L}_{s}\Psi=\frac{\hbar}{2} \left( \begin{array}{cccc} 1&... ...in{array}{c} \Psi_{1} -\Psi_{2} \Psi_{3} -\Psi_{4} \end{array} \right).$$ (2.123)

Отсюда замечаем, что спин частиц, описываемых уравнением Дирака, равен $\frac{1}{2}$ . Квадрат полного спина

$$\hat L^2_{s}=(\hbar^2/4)(\sigma^2_{x}+\sigma^2_{y}+\sigma^2_{z})=s(s+1)\hbar^2=3\hbar^2/4,\quad s=1/2.$$ (2.124)

Пэтому уравнение Дирака применимо для электрона. Кроме того, это уравнение применимо для нейтрона и протона, спин которых также равен $1/2$ .

Все правила вычислений, которые были изложены в нерелятивистской квантовой теории, сохраняют свою силу и для волновых функций Дирака, имеющих четыре компоненты. Математически наличие четырех компонент у волновой функции проявляется в том, что в вычислениях возникают дополнительные суммирования по индексам этих компонент. Например, условие нормировки волновой функции имеет вид

$$\int\Psi^{+}\Psi dV=1.$$ (2.125)

В компонентах это условие записывается седующим образом:

$$\int(\Psi^*_{1}\Psi_{1}+\Psi^*_{2}\Psi_{2}+\Psi^*_{3}\Psi_{3}+\Psi^*_{4}\Psi_{4})dV=1,$$ (2.126)

т.е. добавляется суммироваеие по индексам компонент волновой фукции.

Вычислим среднее значение $Z$ -й проекции спина. По определению среднего,

$$\begin{multline} \langle L_{sz}\rangle =\int \Psi^{+}\hat L_{sz}\Psi dV=(\hbar/2... ...^*_{2}\Psi_{2}+\Psi^*_{3}\Psi_{3}-\Psi^*_{4}\Psi_{4})dV. \nonumber\end{multline}$$

(2.127)

где использовано выражение $\sigma_{z}$ по (2.122). В вычисление снова вошло суммирование по компонентам волновой функции.

Из (2.123) и (2.127) можно заключить, что компоненты $\Psi_{1}$ и $\Psi_{3}$ описывают состояние электрона, в котором его спин имеет составляющую в направлении положительных значений оси $Z$ , а компоненты $\Psi_{2}$ и $\Psi_{4}$ описывают состояние электрона со спином в направлении отрицательных значений оси $Z$ . Вообще говоря, обычно электрон находится в суперпозиции состояний и все четыре компоненты волновой функции отличны от нуля.