3.  Атом водорода

В качестве системы, состоящей из двух частиц и находящейся в стационарном состоянии, рассмотрим атом водорода. Для полного описания атома водорода следует учесть движение обеих частиц - как протона, так и электрона. В квантовой механике в этой задаче следуют классической идее об описании движения каждой из частиц по отношению к их центру тяжести. Мы будем использовать приближение, в котором протон считается очень тяжелым (настолько тяжелым), что он как бы закреплен в центре атома. Кроме того, в очень хорошем приближении можно считать, что электрон движется в атоме водорода как частица без спина, т. е. орбитальный момент импульса атома постоянен ([7] Р.Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. ФЛФ, 9 квантовая механика (II), изд."МИР", М. 1967) .При рассмотрении интересующей нас задачи используем допущения и ту же технику расчета,что и в работе [7]. Состояние системы частиц определяется заданием положений ${\bf T}_{i j}$ и скоростей ${\bf\dot T}_{i j}={\bf P}_{i j}$ всех частиц. От этих переменных зависит интенсивность движения (энергия $E$ ) системы. В аналитической механике и теоретической физике энергия (интенсивность движения) как функция координат и скоростей (импульсов) называется функцией Гамильтона и обозначается через $H$ ([8] А. В. Астахов. "Курс физики". Механика. Кинетическая теория материи. Т. I, "Наука" , М. 1977. стр.97). Совместим начало отсчета сферической системы координат с протоном (Рис. 3.1). С учетом сделанных приближений амплитуду того, что электрон будет обнаружен в том или ином месте пространства $T_{12}$ ,$\theta$ ,$\varphi$ в момент t обозначим через $\Psi (T_{12},\theta,\varphi, t)$ . В дальнейшем для сокращения написания и использования общепринятых обозначений вместо "расстояния" между частицами 1 и 2, т. е. $T_{12}$ , будем писать $r$ . Тогда волновая функция запишется так $\Psi (r,\theta,\varphi, t)$ . Сферические и прямоугольные координаты связаны формулами (Рис. 3.1):

$$x=r\sin\theta\cos\varphi; y=r\sin\theta\sin\varphi; z=r\cos\theta.$$ (0.1)

Рис. 3.1. Сферические координаты $r, \theta, \varphi$ точки $P$ .

В сферических координатах уравнение Шредингера, которому должна удовлетворять функция $\Psi (r,\theta,\varphi, t)=\Psi ({\bf r}, t)$ , принимает вид:

$$\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\Psi)+\frac{1}{r^2}\l... ...\partial\varphi^2}\right\} =-\frac{2}{\hbar^2}(H({\bf r}, p) - U({\bf r}))\Psi,$$ (0.2)

где использовано обозначение $p=P_{12}=\dot T_{12}$ . Пренебрегая гравитационным взаимодействием, будем считать, что связанные состояния электрона и протона в атоме водорода обусловлены в основном электростатическим взаимодействием. Полагая заряд протона $q_{1}=+e$ , а заряд электрона $q_{2}=-e$ , как обычно, получим $-e^2=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}$ . Считая на больших удалениях от протона $U=0$ , можно написать $U=- \frac {e^2}{r}$ . Мы хотим найти состояния с определенным значением функции Гамильтона, которые бы , как и ранее, имели вид

$$\Psi ({\bf r},t)=\psi ({\bf r})\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H({\bf r}, p)\cdot t} .$$ (0.3)