2.3.1.  Приведенная масса

Волновое уравнение Шредингера, полученное в $[12],\S 6$ , описывает движение одной частицы взаимодействующей с бесконечно удаленной другой (т.е. находящейся во внешнем силовом поле). Теперь, однако, нас интересует движение двух частиц (ядра и электрона), взаимодействие между которыми зависит только от расстояния между частицами. Для нахождения волнового уравнения, описывающего движение двух частиц, вспомним, каким образом в $[12],\S 6$ обобщалось волновое уравнение в связи с переходом от одного к трем измерениям. Там мы предположили, что волновая функция зависит уже не от одной координаты $x$ , а от трех, $x, y$ и $z$ , и ввели соответствующие импульсы, руководствуясь при этом классическим выражением для энергии. Аналогичное обобщение, связанное с переходом от трех к шести прямоугольным координатам, непосредственно приводит к волновому уравнению Шредингера для двух частиц с массами $m_1$ и $m_2$ ;

$$\begin{multline} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi (x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,... ...times \\ \times \Psi (x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2, t). \nonumber\end{multline}$$

(2.67)

Потенциал положения здесь может произвольным образом зависеть от шести координат и от времени. Если теперь потенциал положения зависит только от относительных координат, т. е. $U=U (x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)$ , то возможно важное упрощение. Именно, введем относительные координаты $x,y,z$ и координаты центра инерции $X, Y, Z$ , полагая $x=x_1-x_2, y=y_1-y_2, z=z_1-z_2, MX=m_1x_1+m_2x_2, MY=m_1y_1+m_2y_2, MZ=m_1z_1+m_2z_2$ ; здесь $M=m_1+m_2$ — полная масса системы. В новых координатах уравнение (2.67) принимает вид

$$\begin{multline} i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2M}... ...\partial^2}{\partial z^2}\right)+ U(x, y, z)\right]\Psi, \nonumber\end{multline}$$

(2.68)

где

$$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$ (2.69)

так называемая приведенная масса.

В волновом уравнении (2.68) можно теперь дважды разделить переменные. Во-первых, как и в $[12],\S 8$ , можно выделить часть, зависящую от времени ; во-вторых, остающуюся волновую функцию можно представить в виде произведения функции от относительных координат на функцию от координат центра инерции. Элементарный расчет дает

$$\begin{multline} \Psi(x, y, z, X, Y, Z, t)=u(x, y, z)U(X, Y, Z)e^{i(E+E^{\prime}... ... u+Uu=Eu, \\ -\frac{\hbar^2}{2M}\nabla^2U=E^{\prime}U, \nonumber\end{multline}$$

(2.70)

где оператор во втором и в третьем уравнениях означает соответственно дифференцирование по относительным координатам и координатам центра инерции. Второе уравнение (2.70), описывающее относительное движение двух частиц, совпадает с уравнением движения одной частицы с массой $\mu$ во внешнем поле, характеризуемом потенциалом положения U. Из третьего уравнения (2.70) следует, что центр инерции системы двух частиц движется как свободная частица с массой $M$ . В задаче об атоме водорода нас будут интересовать уровни энергии Е, связанные с относительным движением. Поскольку масса атомного ядра значительно больше массы электрона, приведенная масса $\mu$ в этом случае очень близка к последней.