2.2.  Принцип неопределенности

Соотношение неопределенностей является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов [11]. В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома водорода и минимально возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона $\Delta T_{12}=\Delta\tau$ и неопределенность импульса $\Delta p$ , были связаны условием $\Delta\tau\cdot\Delta p\ge\hbar/2$ . Формально полный потенциал темпов изменений времен взаимодействий был бы минимален при $\tau=0$ и $p=0$ . Поэтому, производя оценку наименьшего возможного значения этого потенциала, нужно положить $\Delta\tau\approx\tau$ и $\Delta p\approx p$ . Подставив эти значения в указанное условие, получим соотношение

$$\tau p=\hbar$$ (2.64)

(поскольку наши выкладки могут претендовать лишь на то, чтобы дать порядки вычисляемых величин, 1/2 в правой части мы опустили).

Полный потенциал темпов (скоростей) изменений времен взаимодействий частиц $H$ в атоме водорода равен

$$H=\frac{p^2}{2}-\frac{e^2}{\tau}.$$

Заменив согласно (2.64) $p$ на $\hbar/\tau$ , получим, что

$$H=\frac{\hbar^2}{2\tau^2}-\frac{e^2}{\tau}.$$ (2.65)

Найдем значение $\tau$ , при котором $H$ минимален. Продифференцировав выражение (2.65) по $\tau$ и приравняв производную нулю, придем к уравнению

$$-\hbar^2/\tau^3+e^2/\tau^2=0,$$

из которого следует, что

$$\tau=\hbar^2/e^2.$$ (2.66)

Полученное значение совпадает с радиусом первой боровской орбиты водородного атома. Подстановка выражения (2.66) в формулу (2.65) дает полный потенциал основного состояния:

$$H_{min}=\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{e^2}{\hbar^2}\right)^2-e^2\frac{e^2}{\hbar^2}=-\frac{e^4}{2\hbar^2}.$$

Найденное значение также совпадает с $H$ первого боровского уровня для $Z=1$ .

То обстоятельство, что мы получили точные значения $\tau$ и $H$ , является, конечно, просто удачей. Приведенный расчет может претендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величин $\tau$ и $H$ .