6.0.0.6.  §6.

Остается еще исследовать движение точки в электро-статическом поле по геодезической, соответствующей линейному элементу (6.284). С учетом трех обстоятельств, а именно того, что линейный элемент однороден относительно дифференциалов, а его коэффициенты не зависят от координат $t$ и $\varphi$ , варьирование сразу же дает три первых интеграла. Если ограничиться движением в экваториальной плоскости $(\Theta=90^0, d\Theta=0)$ , то эти интегралы запишутся в виде

$$\left(1-\frac{\alpha}{R}\right)\left(\frac{dt}{ds}\right)^2-\frac... ...a/R}\left(\frac{dR}{ds}\right)^2-R^2\left(\frac{d\varphi}{ds}\right)^2=const=h,$$ (6.285)

$$R^2\frac{d\varphi }{ds}=const=c,$$ (6.286)

$$\left(1-\frac{\alpha}{R}\right)\frac{dt}{ds}=const=1 .$$ (6.287)

Отсюда следует

$$\left(\frac{dR}{d\varphi}\right)^2+R^2\left(1-\frac{\alpha}{R}\right)=\frac{R^4}{c^2}\left[1-h\left(1-\frac{\alpha}{R}\right)\right]$$

или, если обозначить $1/R$ через $x$ ,

$$\left(\frac{dx}{d\varphi}\right)^2=\frac{1-h}{c^2}+\frac{h\alpha}{c^2}x-x^2+\alpha x^3.$$ (6.288)

Если ввести обозначения $c^2/h=B,(1-h)/h=2A$ , то это уравнение в точности примет вид уравнения (11) в работе г-на Эйнштейна [3] и даст наблюдаемую аномалию в движении перигелия Меркурия.

Вообще теперь эйнштейновское приближение для орбиты переходит в точное решение, если только вместо $r$ ввести величину

$$R=(r^3+\alpha^3)^{1/3}=r\left(1+\frac{\alpha^3}{r^3}\right)^{1/3}.$$

Так как отношение $\alpha/r$ приблизительно равно удвоенному квадрату скорости движения планеты (в единицах скорости света), выражение в скобках отличается от единицы лишь на величину порядка $10^{-12}$ даже в случае Меркурия. Поэтому $R$ и $r$ практически равны, и эйнштейновское приближение оказывается удовлетворительным с точки зрения самых далеких практических потребностей.

В заключение следует еще вывести в строгом виде третий закон Кеплера для круговых орбит планет. Для угловой скорости $n=d\varphi/dt$ , согласно уравнениям (6.286) и (6.287), находим

$$n=cx^2(1-\alpha x),$$

вводя $x=1/R$ . Если орбиты круговые, то производные $dx/d\varphi$ и $d^2x/d\varphi^2$ равны нулю. Согласно (6.288), это дает

$$0=\frac{1-h}{c^2}+\frac{h\alpha}{c^2}x-x^2+\alpha x^3$$

и

$$0=\frac{h\alpha}{c^2}-2x+3\alpha x^2 .$$

Исключая из этих двух уравнений $h$ , находим

$$\alpha=2c^2x(1-\alpha x)^2 .$$

Отсюда

$$n^2=\frac{\alpha}{2}x^3=\frac{\alpha}{2R^3}=\frac{\alpha}{2(r^3+\alpha^3)} .$$

Отклонение этой формулы от третьего закона Кеплера совершенно несущественно вплоть до самой поверхности Солнца. Но если взять идеальную точечную массу, то вблизи нее угловая скорость при уменьшении радиуса орбиты не возрастает безгранично, как это следует из закона Ньютона, а стремится к конечному пределу

$$n_{0}=\frac{1}{\alpha\sqrt{2}} .$$

(В случае точки с массой Солнца предельная частота составит $10^4 c^{-1}$ ). Если молекулярные силы подчиняются подобным законам, то там это обстоятельство могло бы иметь значение.