1.  Волновая функция

По определению квантового состояния уравнение движения квантовой частицы должно задавать изменеие во времени волновой функции $\Psi_{12} (T_{12},t)$ [2, стр.36], характеризующей взаимодействие между частицами 1 и 2. Здесь $T_{12}$ это "Расстояние" между телами телами 1 и 2, характеризующееся величиной продолжительности времени, необходимой для того, чтобы изменение, происшедшее с телом 1, проявилось на теле 2 [3, стр.57], а $t$ - время. Состояние системы из "n" - частиц , при условии, что $j\ne i$ , описывается функцией Гамильтона [3]: $H_{ji},P_{ji}=\Sigma_{j=1}^{n-1}\Sigma_{i=j+1}^n P_{ji}\dot T_{ji}-\Sigma_{j=1}^{n-1}\Sigma_{i=j+1}^n L_{ji}$ , где $P_{ji}$ -обобщенная скорость изменения взаимодействия, а $L_{ji}$ - функция Лагранжа. Для $n=2$ функция Гамильтона принимает вид:

$$\begin{multline} H(T_{12},P_{12})=P_{12}\dot T_{12}-L_{12}=\dot T^2_{12}-\frac{1... ...t q_2}{T_{12}}\left(\frac 1{g^0_2}+\frac 1{g^0_1}\right) \nonumber\end{multline}$$

(1.1)

Представим волновую функцию в виде:

$$\Psi_{12}(T_{12}, t)=A\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\left(\dot T_{12}\c... ..._2}{T_{12}}\left(\frac {1}{g^0_2}+\frac {1}{g^0_1}\right)\right]\cdot t\right)}$$ (1.2)

Простейшим движением квантовой частицы является свободное. В этом случае $T$ стремится к $\infty$ , а $U(T)\to 0$ и решение уравнения движения представляет собой плоскую монохроматическую волну с частотой $\omega$ и волновым числом k, которая называется волной де Бройля. Волновая функция этого движения определится кинетическим потенциалом и примет вид:

$$\Psi_{12}(T_{12}, t)=A\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\cdot\dot T_{12}\cdot T_{12}}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{1}{2}\dot T^2_{12}\cdot t}.$$ (1.3)

Представим это выражение в виде произведения двух функций одна из которых зависит только от расстояния $T_{12}$ а другая только от времени $t$ , например, $\varphi=e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{1}{2}\dot T^2_{12}\cdot t}$ и $\psi=A\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\cdot\dot T_{12}\cdot T_{12}}$ , т. е. в виде $\Psi_{12}(T_{12}, t)=\varphi (t)\cdot\psi (T_{12})$ . Найдем производную по времени от волновой функции:

$$\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial t}=\psi \left(T_{12}\right)\cd... ...}\cdot t}\cdot\psi= -\frac{1}{2}\frac{i}{\hbar}\dot T^2_{12}\cdot\Psi (T_{12}).$$ (1.4)

Вторая производная по $T_{12}$ будет равна

$$\frac{\partial^2 \Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}=\frac{\partial}{\p... ...dot T_{12}\cdot\Psi_{12}\right)= -\frac{1}{\hbar^2}\dot T^2_{12}\cdot\Psi_{12}.$$ (1.5)

Отсюда находим, что $\Psi_{12}=-\frac{\hbar^2}{\dot T^2_{12}}\cdot\frac{\partial^2\Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}$ . Подставляя это значение $\Psi$ в выражение для производной по времени от волновой функции получим:

$$\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{i}{\hbar}\... ...l T^2_{12}}=\frac{i\hbar}{2}\cdot\frac{\partial^2\Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}.$$ (1.6)

Умножив левую и правую части полученного равенства на величину $i\hbar$ получим:

$$i\hbar\cdot\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2}\cdot\frac{\partial^2\Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}.$$ (1.7)

Подставим в это выражение волновую функцию записанную в виде произведения двух функций $\varphi$ и $\psi$ и разделив полученное равенство на это произведение найдем

$$i\hbar\cdot\frac{1}{\varphi}\cdot\varphi^{\prime}=-\frac{\hbar^2}{2}\cdot\frac{1}{\psi}\cdot\psi^''$$ (1.8)

Такое равенство возможно тогда и только тогда, когда обе эти функции равны одной и той же постоянной, которую обозначим через $-E$ . Таким образом, последнее соотношение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения:

$$-i\hbar\cdot\frac{\varphi^{\prime}}{\varphi}=-E \; \;\frac{\varphi^{\prime}}{\varphi}=\frac{1}{i\hbar}E=-i\frac{E}{\hbar},\; \;$$

$$\varphi (t)=Ce^{-\frac{iEt}{\hbar}}.$$ (1.9)

Второе уравнение имеет вид:

$$\frac{\hbar^2}{2}\cdot\frac{\psi^''}{\psi}=-E \quad\psi^''+\frac{2}{\hbar^2}E\psi (T_{12})=0,$$

общее решение которого, как известно, равно

$$\psi (T_{12})=aexp\left(i\cdot\frac{\sqrt{2E}}{\hbar}\cdot T_{12}\right)$$ (1.10)

Так как согласно корпускулярно - волновому дуализму $E=\hbar\omega$ и $p=k\hbar$ , а зависимость энергии от импульса является обычной для нерелятивистских частиц $E=\frac{p^2}{2}$ , то волна де Бройля имеет также следующий вид:

$$\Psi (T_{12}, t)=A\cdot exp\left(-\frac{iEt}{\hbar}\right)\cdot exp\left(\frac{ipT_{12}}{\hbar}\right),$$ (1.11)

где в константу $A$ включены константы $C$ и $a$ . Используя введенные ранее понятия обобщенной скорости и кинетического потенциала последнее выражение можно записать в следующей форме:

$$\Psi(T_{12}, t)=A\cdot exp\frac{i}{\hbar}\left(\dot T_{12}\cdot T_{12} - \frac{1}{2}\cdot\dot T^2_{12}\cdot t\right),$$ (1.12)

что соответствует виду предложенной выше волновой функции квантовой частицы.