2.  Стационарное состояние системы из двух частиц

Осмысление экспериментальных данных начала прошлого столетия привело к убеждению, которое Л. Д. Ландау и Е. Ф. Лифшицем сформулировано следующим образом:

" $\cdots$ механика, которой подчиняются атомные явления, - так называемая квантовая или волновая механика должна быть основана на представлених о движении, принципиально отличных от представлений классической механики. В квантовой механике не существует понятия траектории частиц. Это обстоятельство составляет содержание так называемого принципа неопределенности - одного из основных принципов квантовой механики, открытого Гейзенбергом (W. Heisenberg, 1927)" [17, стр.14], §1, гл.1, т.3.

Полагая, что взаимодействие носит бинарный характер и что изменение, связанное с одним из объектов взаимодействия, вызывает изменение в другом из них не к мгновеннок (т. е. изменения последовательны в своих появлениях), а так же, что наблюдатель (экспериментатор) может сопоставлять эти наблюдаемые им изменения с некоей иной, не связанной с наблюдаемыми объектами взаимодействия, равномерной последовательностью изменений, можно при создании математической модели взаимодейстия пользоваться только одной величиной - временем, как, например, в уравнении (26) из [21]:

$$\frac{d^2}{dt^2}T(t)+\frac{1}{\left[T\left\{\frac{1}{\sqrt{1-\lef... ...ht]\right\}\right]^2}\cdot(q^{0}_{2}+q^{0}_{1})-\frac{const^{2}}{[T(t)]^{3}}=0.$$ (2.13)

Примечательно, что уравнение связывает три времени:

• взаимодействия $T$ ,
• кинематическое $t$ ,
• динамическое $\frac{1}{\sqrt{1-\left[\frac{d}{dt}T(t)\right]}}\cdot\left[t-\frac{d}{d t}\left(\frac{[T(t)]^{2}}{2}\right)\right]$ ,

связь между которыми и описывает взаимодействие. Длительные наблюдения коротко живущих частиц показывают, что экспериментатор по отношению к наблюдаемому явлению находится в динамическом времени.

Прибегая к соотношениям из [21] и записывая $L_{ji}$ (функцию Лагранжа, если сохранять прежнее, до введения в [21] другого названия - кинетический потенциал объектов взаимодействия $j$ и $i$ ) как $\frac{1}{2}\dot T^2_{ji}-\frac{K\cdot G\cdot q_{j}\cdot q_{i}}{T_{ji}}\left(\frac{1}{g^0_{i}}+\frac{1}{g^0_{j}}\right)$ , при условии, $j\ne i$ , и учитывая, что по [21] $\frac{\partial L_{ji}}{\partial \dot T_{ji}}=\frac{\partial}{\partial \dot T_{ji}} \left(\frac{1}{2}\dot T^2_{ji}\right)=P_{ji}$ , запишем функцию Гамильтона для системы из "n" частиц [21] в виде:

$$H(T_{ji}, P_{ji})=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=j+1}^n P_{ji}\dot T_{ji}-L=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=j+1}^n P^2_{ji}-\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=j+1}^n L_{ji}$$ (2.14)

Полный дифференциал этой функции будет:

$$\begin{multline} dH=\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=j+1}^n \left({\bf\frac{\partial H}{\... ...\frac{\partial L_{ji}}{\partial T_{ji}}dT_{ji} }\right). \nonumber\end{multline}$$

(2.15)

Сравнение выделенных жирным шрифтом частей этого соотношения, т.е.

$$\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=j+1}^n \left(\frac{\partial H}{\partial P... ...\left(\dot T_{ji}dP_{ji}-\frac{\partial L_{ji}}{\partial T_{ji}}dT_{ji}\right)$$

показывает, что $\dot T_{ji}=P_{ji}=\frac{\partial H}{\partial P_{ji}}$ , а из равенства $\frac{\partial L_{ji}}{\partial T_{ji}}=-\frac{\partial H}{\partial T_{ji}}$ с использованием уравнения Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial L_{ji}}{\partial \dot T_{ji}}=\frac{\partial L_{ji}}{\partial T_{ji}}$ получим $\dot P_{ji}=-\frac{\partial H}{\partial T_{ji}}$ , так, что имеют место уравнения Гамильтона в привычном виде.

Для системы, состоящей из двух $(n=2)$ частиц, уравнения Гамильтона примут вид $\dot T_{12}=\frac{\partial H}{\partial P_{12}}$ и $\dot P_{12}=-\frac{\partial H}{\partial T_{12}}$ . Напоним здесь, что для наблюдаемого квантовомеханического взаимодействия свободного объекта быть не может, так как вторым объектом тогда служит прибор наблюдения.

В этом случае состояние частицы характеризуется кинетическим потенциалом и потенциалом положения, а функция Гамильтона имеет вид:

$$\begin{multline} H(T_{12},P_{12})=P^2_{12}-L_{12}=P^2_{12}-\frac{1}{2}P^2_{12}+\... ...T_{12}}\left(\frac{1}{g^0_{2}}+\frac{1}{g^0_{1}}\right). \nonumber\end{multline}$$

(2.16)

Полагая, что функции $H$ и $L$ являются интегралами движения и при квантовомеханических взаимодействиях, представим волновую функцию в виде:

$$\Psi_{12}(T_{12}, t)=A\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\left(P_{12}\cdot T... ...T_{12}}\left(\frac{1}{g^0_{2}}+\frac{1}{g^0_{1}}\right)\right]\cdot t\right)}.$$

При стремлении $T$ к $\infty$ выражение для $\Psi_{12} (T_{12},t)$ стремится к виду подобному выражению для плоской волны де Бройля.

С учетом полученных результатов волновую функцию, представленную выше, запишем в виде:

$$\Psi_{12}(T_{12},t)=A\cdot e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\partial H}{\partial P_{12}}T_{12}-[H(T_{12}, P_{12})]\cdot t\right)}.$$ (2.17)

Принимая во внимание, что $\dot T_{12}\cdot T_{12}$ и $\frac{\partial H}{\partial P_{12}}\cdot T_{12}$ от времени не зависят, так как квантовомеханические объекты, как отмечено выше, не имеют траекторий движения, определим связь между производными по времени и по пространству от волновой функции:

$$\begin{multline} \frac{\partial \Psi_{12}}{\partial t}=-A\cdot\frac{i}{\hbar}[H(... ...l P_{12}}\cdot T_{12}-[H(T_{12},P_{12})]\cdot t\right)}. \nonumber\end{multline}$$

(2.18)

Преобразуем выражение для второй производной от волновой функции

$$\frac{\partial^2 \Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}=A\cdot\frac{i^2}{\... ...ac{\partial H}{\partial P_{12}}\cdot T_{12}-[H(T_{12},P_{12})]\cdot t \right)}.$$ (2.19)

Из этого соотношения находим,что

$$e^{\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\partial H}{\partial P_{12}}\cdot T... ...{\partial P_{12}}\right)^2}\cdot\frac{\partial^2 \Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}.$$ (2.20)

Подставим это значение экспоненты в выражение для производной по времени от волновой функции и умножив левую и правую части полученного равенства на $i\hbar$ в итоге найдем:

$$i\hbar\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial t}=-\hbar^2\cdot\frac{H(... ...{\partial P_{12}}\right)^2}\cdot\frac{\partial^2 \Psi_{12}}{\partial T^2_{12}}.$$ (2.21)

Стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от времени, а только ограничивает ее гармоническим законом $e^{-i\omega t}$ , где $\omega$ - вещественный параметр. В одномерном случае волновая функция любого стационарного состояния одной частицы имеет вид

$$\Psi(x,t)=e^{-i\omega t}\psi(x),$$ (2.22)

где $\psi(x)$ зависит только от координаты $x$ .

В нашем случае $\omega=\frac{H(T_{12},P_{12})}{\hbar}$ , а $x=T_{12}$ . Поэтому представим волновую функцию в виде:

$$\Psi(T_{12}, t)=\psi(T_{12})\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H(T_{12},P_{12})\cdot t},$$ (2.23)

тогда будем иметь:

$$\begin{multline} i\hbar\frac{\partial \Psi_{12}}{\partial t}=-i\hbar\psi(T_{12})... ..._{12}}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H(T_{12},P_{12})\cdot t}. \nonumber\end{multline}$$

(2.24)

Воспользовавшись теперь связью между производными от волновой функции по времени и по пространству, получим:

$$\begin{multline} -i\hbar\psi (T_{12})\cdot \frac{i}{\hbar}H(T_{12},P_{12})\cdot ... ...l H}{\partial P_{12}}\right)^2}{\hbar^2}\psi (T_{12})=0. \nonumber\end{multline}$$

(2.25)

Поскольку $\frac{\partial H}{\partial P_{12}}=\dot T_{12}$ , то $\frac{\partial^2 \psi (T_{12})}{\partial T^2_{12}}+\frac{(\dot T_{12})^2}{\hbar^2}\psi (T_{12})=0$ . определяя $\dot T^2_{12}$ из уравнения (0.1.1) получим:

$$\frac{\partial^2\psi (T_{12})}{\partial T^2_{12}}+\frac{2}{\hbar^... ...{T_{12}}\left(\frac{1}{g^0_{2}}+\frac{1}{g^0_{1}}\right)\right)\psi (T_{12})=0.$$ (2.26)

Введем обозначение $U=\frac{1}{2}\frac{C_{12}}{T^2_{12}}-\frac{K\cdot G\cdot q_{1}\cdot q_{2}}{T_{12}}\left(\frac{1}{g^0_{2}}+ \frac{1}{g^0_{1}}\right)$ , тогда:

$$\frac{\partial^2\psi (T_{12})}{\partial T^2_{12}}+\frac{2}{\hbar^2}(H(T_{12},P_{12})-U(T_{12}))\psi (T_{12})=0.$$ (2.27)

Умножим это уравнение на

$$e^{-\frac{i}{\hbar}H(T_{12},P_{12})\cdot t}.$$ (2.28)

Воспользуемся тем, что

$$\Psi(T_{12}, t)=\psi(T_{12})\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H(T_{12},P_{12})\cdot t},$$ (2.29)

заменим

$$\begin{multline} H(T_{12},P_{12})\psi (T_{12})\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H(T_{12},... ...T_{12})\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}H(T_{12},P_{12})\cdot t} \nonumber\end{multline}$$

(2.30)

и получим общее волновое уравнение Шредингера

$$i\hbar\frac{\partial \Psi (T_{12},t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial^2 \Psi (T_{12},t)}{\partial T^2_{12}}+ U(T_{12})\Psi (T_{12},t).$$ (2.31)

В итоге имеют место уравнения (2.27) и (2.31) такие же, что и в существующих математических моделях квантовомеханических явлений, с той только единственной, но существенной разницей, что физическое содержание входящих в них величин иное:

$H$ - хотя ей и оставлено в [21] название к функция Гамильтонак не имеет смысла полной энергии системы, а является суммой обобщенных потенциалов скоростей и положений, т. е. полным потенциалом темпов (скоростей) изменений времен взаимодействий объектов участвующих во взаимодействии.

$U$ - согласно вышеуказанному, потенциал темпов изменений времен взаимодействий, зависящий от состояния времен взаимодействий. Для независимого от внешних воздействий взаимодействия, $H$ не меняется в течении взаимодействия.

Обращаясь к понятию измерения, значение которого подчеркнуто на стр.78 в конце §18 [17] словами к играющему фундаментальную роль в квантовой механике (как об этом подробно шла речь в §7)к, отметим, что:

• роль понятия измерения в квантовой механике, выяснение которой принадлежит Бору (N. Bohr), стр.15, §1, [17], подразумевает освещение процесса взаимодействия между прибором и квантовым объектом, там же на стр.15, §1, [17], причем роль прибора может выполнять и микроскопический объект;
• прибор, являющийся классическим объектом, участвует во взаимодействии используемом, как измерительный процесс, благодаря квантовомеханическим свойствам, присущим, согласно де Бройлю, любому телу, так, что для другого квантовомеханического объекта он является обычным квантовомеханическим объектом без каких-либо особенностей;
• взаимодействие выражается в изменении времени, по истечении которого состояние одного из участников взаимодействия скажется на состоянии другого, именуемого временем взаимодействия;
• в случае, когда наблюдатель (регистратор) неподвижен относительно прибора, прибор и наблюдатель, оба находятся в одной лаборатории, или неподвижных относительно друг друга лабораториях, время взаимодействия изменяется в зависимости от времени наблюдателя, для чего не только перемещения прибора в единицу времени относительно лаборатории должны быть невелики, но и изменение времени взаимодействия относительно самого из кратчайших среди возможных должно быть невелико (см. приведенное выше уравнение (2.13)).
• при протекании измерения, система участников взаимодействия может не отвечать, даже приближенно, условию изолированности.