1.  Общие замечания

Задача об описании состояния электрона в поле с центральной симметрией имеет большой практический интерес, так как решение ее дает не только теорию спектра водорода (движение в Кулоновом поле), но также и приближенную теорию спектров атомов с одним валентным электроном, например атома натрия.

В атоме водорода электрон находится в Кулоновом электростатическом поле ядра, так что потенциальная энергия $U(x,y,z)$ равна

$$U(r)=-\frac{e^2}{r}.$$

В атомах с несколькими электронами последние как бы теряют свою индивидуальность, так что нельзя, строго говоря, рассматривать состояние отдельных электронов и описывать их волновыми функциями $\psi$ , зависящими от координат одного электрона каждая. Вместо этого нужно рассматривать состояние всего атома как целого и описывать его волновой функцией, зависящей от координат всех электронов. При этом нужно учесть наличие у электронов внутренней степени свободы (так называемогоспина), а также свойства симметрии волновой функции по отношению к перестановке электронов. Многоэлектронная задача будет формулирована в части $IY$ книги [10]. Пока же ограничимся замечанием о том, что в известном приближении можно выразить волновую функцию всего атома через волновые функции отдельных электронов. Тогда для этих последних получаются уравнения того же типа, как в задаче одного тела (с некоторыми добавочными членами). Поэтому можно, например, для атома с одним валентным электроном составить уравнение для волновой функции этого электрона и говорить, что он находится в поле ядра и остальных (внутренних) электронов. Это поле будет, подобно полю в атоме водорода, обладать сферической симметрией, но оно уже не будет Кулоновым. Ввиду изложеннго, случай не-Кулонова поля с потенциалом положения $U(r)$ , зависящем только от расстояния от ядра, представляет большой физический интерес.

Теория Шредингера дает верную в общих чертах картину спектров атомов с одним валентным электроном. Лишь некоторые детали, а именно, тонкая структура (наличие дублетов), не получаются из уравнения Шредингера и могут быть объяснены на основании теории Дирака, в которой принимается во внимание теория относительности. Кроме того, теория Дирака необходима для объяснения поведения атома в магнитном поле [явление Зеемана (Zeeman)]. Правда, уравнение Шредингера может быть обобщено на случай магнитного поля, но так как поправки на магнитное поле и на теорию относительности одного и того же порядка, то необходимо учитывать их одновременно. Изложение теории Дирака дано в пятой части книги [12].