2.  Интегралы площадей

Волновое уравнение Шредингера для электрона в поле с потенциалом положения $U(x,y,z)$ имеет вид

$$H\psi-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=0,$$ (2.1)

где оператор $H$ потенциалов кинетического и положения равен

$$H=\frac{1}{2}(p^2_{x}+p^2_{y}+p^2_{z})+U(x,y,z).$$ (2.2)

Положим, что потенциал положения $U$ зависит только от расстояния $r$ от ядра атома, которое мы будем считать неподвижным и лежащим в начале координат

$$U(x,y,z)=U(r)\qquad (r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}).$$ (2.3)

Волновое уравнение напишется

$$\frac{1}{2}(p^2_{x}+p^2_{y}+p^2_{z})\psi+U(r)\psi-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=0,$$ (2.4)

или, если мы выразим $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ через производные, то

$$-\frac{\hbar^2}{2}\Delta\psi+U(r)\psi-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=0,$$ (2.5)

где $\Delta$ есть оператор Лапласа.

В классической механике в случае центрального поля имел место закон площадей: составляющие момента количества движения вокруг начала координат

$$\left. \begin{array}{rcl} m_{x}&=&yp_{z}-zp_{y}, m_{y}&=&zp_{x}-xp_{z}, m_{z}&=&xp_{y}-yp_{x} \end{array} \right\}$$ (2.6)

были интегралами уравнений движения. Посмотрим, не будут ли эти величины интегралами и в квантовой механике, если мы будем разуметь под ними операторы, рассмотренные в ([12],$\S 7$ , гл. $III$ ч.$I$ ); но проще доказать это непосредственно.

Мы имеем

$$m_{z}\psi=\frac{\hbar}{i}\left(x\frac{\partial\psi}{\partial y}-y\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)$$

и, следовательно,

$$\begin{multline}\nonumber \Delta m_{z}\psi-m_{z}\Delta\psi=\frac{\hbar}{i}\left[... ...}-2\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y}\right)=0. \nonumber\end{multline}$$

Переместительность $m_{z}$ с потенциалом положения доказывается аналогично, а именно,

$$\begin{multline}\nonumber Um_{z}\psi-m_{z}U\psi=\frac{\hbar}{i}\left[U\left(x\fr... ...tial U}{\partial x} -x\frac{\partial U}{\partial y}\right)\psi=0, \end{multline}$$

так как если $U=U(r)$ , то

$$y\frac{\partial U}{\partial x} -x\frac{\partial U}{\partial y}=0.$$

Следовательно, $m_{z}$ переместителен как с оператором Лапласа, так и с потенциалом положения, а значит со всем оператором потенциалов кинетическим и положения. Ввиду симметрии относительно координат $x,y,z$ то же справедливо для $m_{x}$ и $m_{y}$ .

Таким образом,

$$\left. \begin{array}{rcl} Hm_{x}-m_{x}H&=&0, Hm_{y}-m_{y}H&=&0, Hm_{z}-m_{z}H&=&0, \end{array} \right\}$$ (2.9)

т.е. составляющие $m_{x},m_{y},m_{z}$ момента количества движения суть интегралы квантовых уравнений движения.

Но эти операторы не переместительны между собой; в самом деле, мы знаем, что имеют место соотношения

$$\left. \begin{array}{rcl} m_{y}m_{z}-m_{z}m_{y}&=&i\hbar m_{x},\\... ...z}&=&i\hbar m_{y}, m_{x}m_{y}-m_{y}m_{x}&=&i\hbar m_{z}. \end{array} \right\}$$ (2.10)

Отсюда следует, как мы знаем, что величины $m_{x},m_{y},m_{z}$ не могут иметь одновременно определенных значений (за исключением значения нуль). Покажем, что оператор

$$m^2=m^2_{x}+m^2_{y}+m^2_{z},$$ (2.11)

который мы можем толковать как квадрат момента количества движения, коммутирует с каждым из операторов $m_{x},m_{y},m_{z}$ . Мы имеем

$$\begin{multline}\nonumber m^2_{x}m_{z}-m_{z}m^2_{x}=m_{x}(m_{x}m_{z}-m_{z}m_{x})+(m_{x}m_{z}-m_{z}m_{x})m_{x}=\\ = -i\hbar(m_{x}m_{y}+m_{y}m_{x}), \end{multline}$$

$$m^2_{y}m_{z}-m_{z}m^2_{y}=i\hbar(m_{x}m_{y}+m_{y}m_{x}),$$

$$m^2_{z}m_{z}-m_{z}m^2_{z}=0.$$

Складывая эти равенства, получим

$$m^2m_{z}-m_{z}m^2=0.$$

Ввиду симметрии относительно $x,y,z$ можем написать три равенства

$$\left. \begin{array}{rcl} m^2m_{x}-m_{x}m^2&=&0, m^2m_{y}-m_{y}m^2&=&0, m^2m_{z}-m_{z}m^2&=&0, \end{array} \right\}$$ (2.12)

которые означают физически, что квадрат момента количества движения может иметь определенное значение одновременно с одной из его составляющих

С другой стороны, так как каждый из операторов $m_{x},m_{y},m_{z}$ коммутирует с оператором потенциалов кинетическим и положения ($H$ ), то и сумма их квадратов обладает этим свойством. Следовательно, оператор $m^2$ будет интегралом уравнений движения:

$$Hm^2-m^2H=0.$$ (2.13)

Кроме того, интегралом является самый оператор потенциалов $H$ . Таким образом, мы имеем три оператора $m_{z}, m^2$ и $H$ , которые коммутируют между собой и являются интегралами квантовых уравнений движения. Из общей теории следует, что функцию, удовлетворяющую волновому уравнению (2.1), можно выбрать так, чтобы она была одновременно собственной функцией всех трех операторов и удовлетворяла уравнениям

$$\left. \begin{array}{rcl} H\psi&=&E\psi, m^2\psi&=&\lambda\psi, m_{z}\psi&=&m^{\prime}_{z}\psi. \end{array} \right\}$$ (2.14)