3.  Операторы в сферических координатах. Разделение переменных

Так как в рассматриваемой задаче поле обладает сферической симметрией, то для исследования наших операторов (2.12) $\S 2$ удобно ввести сферические координаты $r, \vartheta, \varphi,$ положив

$$x=r\sin\vartheta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\vartheta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\vartheta.$$ (3.15)

Выразим операторы $m_{x},m_{y},m_{z}$ через производные по $\vartheta$ и по $\varphi$ :

$$\left. \begin{array}{rcl} m_{x}\psi=\frac{\hbar}{i}\left(y\frac{\... ...l x}\right)&=&-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}. \end{array} \right\}$$ (3.16)

Оператор $m^2=m^2_{x}+m^2_{y}+m^2_{z}$ будет равен

$$\begin{multline*} m^2\psi=-\hbar^2\left(\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\vart... ...artheta}\right)- \hbar^2\frac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2} \end{multline*}$$

или, после упрощений,

$$m^2\psi=-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\par... ...ight)+\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2}\right].$$ (3.17)

Мы получили как раз тот дифференциальный оператор, который фигурирует в известном из теории потенциала уравнении для шаровых функций $Y_{l}(\vartheta,\varphi)$ :

$$\frac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}\left(... ...ac{1}{\sin^2\vartheta}\frac{\partial^2 Y_{l}}{\partial\varphi^2}+l(l+1)Y_{l}=0,$$ (3.18)

где целое число $l(l=0,1,2,\cdots)$ есть порядок шаровой функции. Из сравнения (3.16) с уравнением (2.12) $\S 2$ для собственных функций оператора $m^2$ мы можем заключить, что собственные значения $\lambda$ оператора $m^2$ равны

$$\lambda=\hbar^2 l(l+1)\qquad (l=0,1,2,\cdots).$$ (3.19)

Чтобы найти преобразованный оператор потенциала (суммарного-кинетического и положения) $H$ , воспользуемся известным выражением оператора Лапласа в сферических координатах. Мы получим

$$H\psi=-\frac{\hbar^2}{2}\left\{\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2... ...in^2\vartheta}\frac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2}\right]\right\}+U(r)\psi.$$ (3.20)

Совокупность производных по $\vartheta$ и по $\varphi$ здесь та же, что в операторе $m^2$ . Что касается производных по $r$ , то мы можем написать их в виде

$$-\hbar^2\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=p^{*2}_{r}\psi,$$ (3.21)

где $p^*_{r}$ есть оператор

$$p^*_{r}\psi=\frac{\hbar}{ir}\frac{\partial}{\partial r}(r\psi)=\frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{\psi}{r}\right),$$ (3.22)

который мы можем, по аналогии с $p_{x}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ , толковать как оператор для радиальной составляющей количества движения. Вводя $m^2$ и $p^*2_{r}$ в $H$ , мы будем иметь

$$H=\frac{1}{2}\left(p^{*2}_{r}+\frac{1}{r^2}m^2\right)+U(r).$$ (3.23)

Написанный в таком виде оператор суммарного потенциала совпадает по форме с классической Гамильтоновой функцией в сферических координатах.

Уравнения для общих собственных фнкций операторов $H$ и $m^2$ могут быть написаны в виде

$$H\psi=\frac{1}{2}\left(p^{*2}_{r}+\frac{1}{r^2}m^2\right)\psi+U(r)\psi=E\psi,$$ (3.24)

$$m^2\psi=-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\vartheta}\frac{\partial}{\par... ...n^2\vartheta}\frac{\partial^2\psi}{\partial\varphi^2}\right]=\hbar^2l(l+1)\psi.$$ (3.25)

Пользуясь вторым из этих уравнений и выражением (3.20) для оператора $p^*_{r}$ , мы можем первое представить в виде

$$-\frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac... ...r}\frac{\partial\psi}{\partial r}-\frac{l(l+1)}{r^2}\psi\right]+U(r)\psi=E\psi.$$ (3.26)

Уравнение (3.23) содержит явным образом только переменные $\vartheta$ и $\varphi$ , уравнение (3.24) - только переменную $r$ , поэтому мы можем искать решение этих уравнений в виде произведения функции от $r$ на функцию от $\vartheta$ и $\varphi$ . Чтобы функция $\psi$ удовлетворяла также волновому уравнению

$$H\psi=E\psi=i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t},$$ (3.27)

мы должны ввести показательный множитель $e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$ и положить

$$\psi=e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\psi^0(r, \vartheta, \varphi),$$ (3.28)

где, согласно сказанному,

$$\psi^0(r, \vartheta, \varphi)=R(r)Y_{l}(\vartheta, \varphi).$$ (3.29)

Множитель, зависящий от углов $\vartheta$ и $\varphi$ мы положили равным шаровой функции порядка $l$ , так как она удовлетворяет уравнению (3.16), совпадающему с (3.23). Множитель $R(r)$ (мы будем называть его радиальной функцией) должен удовлетворять уравнению (3.24), которое мы напишем в виде

$$\frac{d^2 R}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dR}{dr}-\frac{l(l+1)}{r^2}R+\frac{2}{\hbar^2}\left[E-U(r)\right]R=0.$$ (3.30)

Таким образом, знание интеграла (оператора потенциалов) $H$ и интегралов площадей позволило нам произвести разделение переменных, т.е. привести решение волнового уравнения для функции от четырех переменных $t, r, \vartheta, \varphi$ к решению более простых уравнений для функций от меньшего числа переменных.