4.  Решение дифференциального уравнения для шаровых функций

Мы видели, что уравнение (3.23) $\S 3$ для собственных функций квадрата момента количества движения совпадает с уравнением (3.16) $\S 3$ для шаровых функций. Поэтому теория собственных функций интегралов площадей есть не что иное, как теория шаровых функций.

Найдем общие собственные функции операторов $m_{z}$ и $m^2$ .

Шаровая функция $Y_{l}(\vartheta,\varphi)$ будет собственной функцией оператора $m_{z}$ , если она будет удовлетворять уравнению

$$-i\hbar\frac{\partial Y_{l}}{\partial\varphi}=m^{\prime}_{z}Y_{l},$$ (4.31)

решение которого есть

$$Y_{l}(\vartheta, \varphi)=\Theta(\vartheta)e^{i\frac{m^{\prime}_{z}}{\hbar}\varphi}.$$

Чтобы $Y_{l}$ была однозначной функцией точки в пространстве, необходимо, чтобы она была периодической функцией от $\varphi$ с периодом $2\pi$ . Отсюда следует, что собственные значения $m^{\prime}_{z}$ оператора $m_{z}$ должны равняться

$$m^{\prime}_{z}=m\hbar \qquad (m=0, \pm1, \pm2, \cdots).$$ (4.32)

Этот результат мы имели уже раньше (в [10] $\S 7$ гл.$III$ ч.$I$ ). Таким образом,

$$Y_{l}(\vartheta, \varphi)=\Theta(\vartheta)e^{im\varphi}.$$ (4.33)

Подставляя это выражение в уравнение (3.16) $\S 3$ для шаровых функций, получим

$$\frac{1}{\sin\vartheta}\frac{d}{d\vartheta}\left(\sin\vartheta\frac{d\Theta}{d\vartheta}\right)-\frac{m^2}{\sin^2\vartheta}\Theta+l(l+1)\Theta=0.$$ (4.34)

Если ввести в качестве независимой переменной величину

$$x=\cos\vartheta,$$ (4.35)

то уравнение (4.32) примет вид

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right]-\frac{m^2}{1-x^2}\Theta+l(l+1)\Theta=0.$$ (4.36)

Значения $x=+1$ и $x=-1$ являются особенными точками этого уравнения, так как если его решить относительно второй производной, то коэффициенты обратятся при $x=\pm 1$ в бесконечность. Если рассматривать $l$ как неопределенный параметр, то можно показать, что уравнение (4.34) только в том случае имеет решение, которое остается конечным при $x=\pm 1$ , когда $l$ есть целое число. Это значит, что шаровые функции являются единственными решениями уравнения (4.34), удовлетворяющими поставленным условиям, т.е. единственными собственными функциями оператора $m^2$ .

Найдем решение уравнения (4.34) при целом $l$ .

Рассмотрим сперва частный случай $m=0$ . Положим

$$y=(x^2-1)^l$$

и возьмем логарифмическую производную от $y$ :

$$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2lx}{x^2-1}$$

или

$$(1-x^2)\frac{dy}{dx}+2lxy=0.$$

Продифферецируем это уравнение $k+1$ раз по $x$ и положим

$$z=\frac{d^ky}{dx^k}=\frac{d^k}{dx^k}(x^2-1)^l.$$ (4.37)

Мы получим

$$(1-x^2)\frac{d^2z}{dx^2}-(2k-2l+2)x\frac{dz}{dx}+(2l-k)(k+1)z=0.$$ (4.38)

Если положить здесь $k=l$ , получится уравнение, совпадающее с (4.34) (при $m=0$ ). Решение этого уравнения, обращающееся в единицу при $x=1$ , обозначают символом $P_{l}(x)$ и называют полиномом Лежандра (Legendre) порядка $l$ . Полином Лежандра отличается от выражения (4.35) при $k=l$ только постоянным множителем. Определяя этот множитель из условия $P_{l}(1)=1$ , получим

$$P_{l}(x)=\frac{1}{2^l l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l.$$ (4.39)

Этот полином удовлетворяет, следовательно, уравнению

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dP_{l}}{dx}\right]+l(l+1)P_{l}=0,$$ (4.40)

представляющему частный случай (4.34). Рассмотрим теперь общий случай $m\ne0$ . Сделаем подстановку

$$\Theta=(1-x^2)^{m/2}\upsilon.$$ (4.41)

Для $\vartheta$ получается уравнение

$$(1-x^2)\frac{d^2\upsilon}{dx^2}-(2m+2)x\frac{d\upsilon}{dx}+(l-m)(l+m+1)\upsilon=0.$$ (4.42)

Если бы мы вместо (4.39) положили

$$\Theta=(1-x^2)^{-m/2}\omega,$$ (4.43)

то для $\omega$ получилось бы уравнение, отличающееся от(4.40) лишь знаком у $m$ , а именно

$$(1-x^2)\frac{d^2\omega}{dx^2}+(2m-2)x\frac{d\omega}{dx}+(l+m)(l-m+1)\omega=0.$$ (4.44)

Оба уравнения (4.40) и (4.42) получились того же вида, как и уравнение (4.36), причем для (4.40) число $k$ равно $l+m$ , а для (4.42) оно равно $l-m$ . Поэтому мы можем положить

$$\upsilon=c_{1}\frac{d^{ l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l,$$ (4.45)

$$\omega=c_{2}\frac{d^{ l-m}}{dx^{l-m}}(x^2-1)^l.$$ (4.46)

Приравнивая выражения (4.39) и (4.41) для $\Theta$ , получим

$$\Theta=c_{1}(1-x^2)^{m/2}\frac{d^{ l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l=c_{2}(1-x^2)^{-m/2}\frac{d^{ l-m}}{dx^{l-m}}(x^2-1)^l.$$ (4.47)

Чтобы найти отношение постоянных $c_{1}/c_{2}$ достаточно приравнять оба выражения (4.45) для какого-нибудь частного значения $x$ . Вычисление дает

$$c_{1}(l+m)l=c_{2}(-1)^m(l-m)l$$ (4.48)

Принято полагать

$$c_{1}=\frac{1}{2^l l!}$$ (4.49)

и, следовательно,

$$c_{2}=\frac{1}{2^l l!}(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}$$ (4.50)

и обозначать соответствующее решение уравнения (4.34) символом $P^m_{l}(x)$ . Таким образом, функции

$$P^m_{l}(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^{ l+m}}{dx^{l+m}}\frac{(x^2-1)^l}{2^l l!},$$ (4.51)

равные также

$$P^m_{l}(x)=(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\frac{d^{ l+m}}{dx^{l+m}}\frac{(x^2-1)^l}{2^l l!},$$ (4.52)

удовлетворяют уравнению

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{dP^m_{l}}{dx}\right]-\frac{m^2}{1-x^2}P^m_{l}+l(l+1)P^m_{l}=0$$ (4.53)

и представляют те решения, которые остаются конечными при $x=\pm 1$ .

Выражения (4.49) и (4.50) определяют функцию $P^m_{l}(x)$ как для положительных, так и для отрицательных значений целого числа $m$ , причем из сравнения (4.49) с (4.50) следует, что

$$P^{-m}_{l}(x)=(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}P^m_{l}(x).$$ (4.54)

При $\vert m\vert>l$ выражения (4.49) и (4.50) обращаются в нуль, так что решений уравнения (4.34), которые бы оставались конечными при $x=\pm 1$ , не существует, поэтому при данном $l$ число $m$ может принимать лишь значения

$$m=-l, -l+1,\cdots, l-1, l$$ (4.55)

всего $2l+1$ значение. Неравенство

$$\vert m\vert\le l$$ (4.56)

вытекает из физического смысла этих величин.В самом деле, $m^2$ есть с точностью до множителя $\hbar^2$ собственное значение оператора $m^2_{z}$ , а $l(l+1)$ -собственное значение оператора $m^2=m^2_{x}+m^2_{y}+m^2_{z}$ , отсюда следует, что

$$m^2\le l(l+1)<\left(l+\frac{1}{2}\right)^2,$$

откуда

$$\vert m\vert<l+\frac{1}{2},$$

а так $\vert m\vert$ и $l$ суть целые числа, то предыдущее неравенство эквивалентно неравенству (4.54).

Припоминая выражение (4.37) для полинома Лежандра, мы можем шаровую функцию $P^m_{l}(x)$ с положительным значком $m$ представить в виде

$$P^m_{l}=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P_{l}(x) \qquad (m\ge 0).$$ (4.57)

В теории потенциала обычно рассматривают лишь функции с положительным значком $m$ и пользуются этой формулой в качестве их определения.

При исследовании дифференциального уравнения (4.34) мы предполагали, что $m$ есть целое число. Однако в некоторых задачах, связанных с теорией Паули и теорией Дирака, число $m$ может быть и полуцелым (т.е. половиной нечетного числа). При этом функция(4.29) уже не будет однозначной функцией точки, так как она будет менять знак при увеличении $\varphi$ на $2\pi$ . Но выражение (4.45) для $\Theta$ сохраняют смысл и в том случае, когда оба числа $l$ и $m$ полуцелые, так что ими можно пользоваться и в этом случае.