5.  Некоторые свойства шаровых функций

В дальнейшем нам придется пользоваться различными свойствами шаровых функций: поэтому рассмотрим их несколько подробнее.

Припоминая формулу Коши (Cauchy)

$$f^{(l)}(x)=\frac{l!}{2\pi i}\int\frac{f(z)}{(z-x)^{l+1}}dz$$ (5.58)

для производной порядка $l$ от аналитической функции и полаеая в ней

$$f(z)=\frac{(z^2-1)^l}{2^l l!},$$

мы можем представить полином Лежандра, определяемый формулой (4.37) $\S 4$ , в виде интеграла

$$P_{l}(x)=\frac{1}{2^l}\cdot\frac{1}{2\pi i}\int\frac{(z^2-1)^l}{(z-x)^{l+1}}dz.$$ (5.59)

Введем здесь новую переменную интегрирования $\zeta$ , положив

$$\frac{z-x}{z^2-1}=\frac{\zeta}{2}.$$

Решая это уравнение относительно $z$ и беря то определение корня, для которого $z=x$ при $\zeta=0$ , будем иметь

$$z=\frac{1}{\zeta}(1-\sqrt{1-2x\zeta+\zeta^2}).$$

Отсюда

$$\frac{dz}{z-x}=\frac{d\zeta}{\zeta\sqrt{1-2x\zeta+\zeta^2}}$$

и интеграл (5.57) примет вид

$$P_{l}(x)=\frac{1}{2\pi i}\int\frac{1}{\sqrt{1-2x\zeta+\zeta^2}} \frac{d\zeta}{\zeta^{l+1}},$$ (5.60)

откуда по формуле Коши (5.56)

$$P_{l}(x)=\frac{1}{l!}\left(\frac{d^{ l}}{d\zeta^l} \frac{1}{\sqrt{1-2x\zeta+\zeta^2}}\right)_{\zeta=0}.$$ (5.61)

Следовательно, $P_{l}(x)$ есть коэффициент в ряде Тейлора

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xr+r^2}}=\sum_{l=0}^{\infty}r^lP_{l}(x).$$ (5.62)

Этой формулой удобно пользоваться для вывода различных свойств полиномов Лежандра. Дифференцируя (5.60) по $r$ , получим

$$\frac{x-r}{(1-2xr+r^2)^{3/2}}=\sum_{l=0}^{\infty}lr^{l-1}P_{l}(x).$$ (5.63)

Умножая (5.61) на $2r$ и складывая с (5.60), будем иметь

$$\frac{1-r^2}{(1-2xr+r^2)^{3/2}}=\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)r^lP_{l}(x).$$ (5.64)

С другой стороны, умножая (5.61) на $r^2$ и (5.60) на $r$ и складывая, получим

$$\frac{r-xr^2}{(1-2xr+r^2)^{3/2}}=\sum_{l=0}^{\infty}lr^lP_{l-1}(x).$$ (5.65)

Но сумма выражений (5.61) и (5.63) равна выражению (5.62), умноженному на $x$ :

$$\sum_{l=0}^{\infty}r^l(l+1)P_{l+1}(x)+\sum_{l=0}^{\infty}r^l lP_{l-1}(x)= \sum_{l=0}^{\infty}r^l(2l+1) xP_{l}(x).$$

Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при отдельных степенях $r$ , будем иметь

$$(2l+1) xP_{l}(x)=(l+1)P_{l+1}(x)+lP_{l-1}(x).$$ (5.66)

Полученное соотношение представляет рекуррентную формулу, позволяющую вычислять $P{l+1}(x)$ , когда известны $P_{l}(x)$ и $P_{l-1}(x)$ .

Продифференцируем теперь разложение (5.60) по $x$ и разделим результат на $r$ . Мы получим

$$\frac{1}{(1-2xr+r^2)^{3/2}}=\sum_{l=0}^{\infty}r^l \frac{dP_{l+1}}{dx}.$$

Умножая это выражение на $1-r^2$ , будем иметь

$$\frac{1-r^2}{(1-2xr+r^2)^{3/2}}=\sum_{l=0}^{\infty}r^l\left(\frac{dP_{l+1}}{dx}-\frac{dP_{l-1}}{dx}\right).$$ (5.67)

Сравнивая (5.65) с формулой (5.62), получаем

$$(2l+1)P_{l}(x)=\frac{dP_{l+1}}{dx}-\frac{dP_{l-1}}{dx}.$$ (5.68)

Соотношения (5.64) и (5.66) можно обобщить на шаровые функции. Дифференцируя формулу (5.66) $m$ раз по $x$ и умножая затем на $(1-x^2)^{\frac{m+1}{2}}$ , мы можем, на осовании (4.55) $\S 4$ , написать ее в виде

$$(2l+1)(1-x^2)^{1/2}P^m_{l}(x)=P^{m+1}_{l+1}(x)-P^{m+1}_{l-1}(x).$$ (5.69)

Дифференцируя же формулу (5.64) $m$ раз и умножая затем на $(1-x^2)^{\frac{m}{2}}$ , получаем

$$(2l+1)xP^m_{l}(x)+(2l+1)m(1-x^2)^{1/2}P^{m-1}_{l}(x)=(l+1)P^m_{l+1}(x)+lP^m_{l-1}(x).$$

Заменяя здесь, на основании (5.67), $(2l+1)(1-x^2)^{1/2}P^{m-1}_{l}(x)$ на $P^m_{l+1}(x)-P^m_{l-1}(x)$ , получим формулу

$$(2l+1)xP^m_{l}(x)=(l-m+1)P^m_{l+1}(x)+(l+m)P^m_{l-1}(x),$$ (5.70)

связывающую три последовательные функции с одинаковым значком $m$ .

Формулы (5.67) и (5.68) справедливы как для положительных, так и для отрицательных значений $m$ . Если в шаровой функции верхний значок окажется по абсолютному значению больше нижнего, то ее нужно заменить нулем.

При изложении теории Дирака нам придется пользоваться системой дифференциальных уравнений для шаровых функций, которую мы сейчас выведем.

Уможим формулу (4.50) $\S 4$ на $(1-x^2)^{\frac{m}{2}}$ и продифференцируем по $x$ . Мы получим формулу, которую можно написать в виде

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)^{\frac{m}{2}}P^m_{l}(x)\right]=-(l+m)(l-m+1)(1-x^2)^{\frac{m-1}{2}}P^{m-1}_{l}(x)$$

или, если мы заменим $m$ на $m+1$ ,

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)^{\frac{m+1}{2}}P^{m+1}_{l}(x)\right]=-(l+m+1)(l-m)(1-x^2)^{\frac{m}{2}}P^m_{l}(x).$$ (5.71)

Умножим теперь (4.49) $\S 4$ на $(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}$ и продифференцируем по $x$ . Мы получим

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}P^m_{l}(x)\right]=(1-x^2)^{-\frac{m+1}{2}}P^{m+1}_{l}(x).$$ (5.72)

Уравнения (5.69) и (5.70) образуют систему, из которой можно, путем исключения $P^{m+1}_{l}(x)$ , получить уравнение (4.51) $\S 4$ для $P^m_{l}(x)$ . Введем в (5.69) и (5.70) вместо $x$ независимую переменную $\vartheta=\arccos x$ . Уравнения напишутся

$$\frac{d}{d\vartheta}\left[(\sin\vartheta)^{m+1}P^{m+1}_{l}(\cos\vartheta)\right]=(l+m+1)(l-m) (\sin\vartheta)^{m+1}P^m_{l}(\cos\vartheta),$$ (5.73)

$$\frac{d}{d\vartheta}\left[(\sin\vartheta)^{-m}P^m_{l}(\cos\vartheta)\right]=-(\sin\vartheta)^{-m}P^{m+1}_{l}(\cos\vartheta)$$ (5.74)

или, если выполнить дифференцирование,

$$\frac{d}{d\vartheta}P^m_{l}(\cos\vartheta)-m\cot\vartheta P^m_{l}(\cos\vartheta)= -P^{m+1}_{l}(\cos\vartheta),$$ (5.75)

$$\frac{d}{d\vartheta}P^{m+1}_{l}(\cos\vartheta)+(m+1)\cot\vartheta P^{m+1}_{l}(\cos\vartheta)= (l+m+1)(l-m)P^m_{l}(\cos\vartheta).$$ (5.76)

С этими уравнениями мы встретимся в теории Дирака.