6.  Нормированные шаровые функции

Рассмотренные в предыдущих параграфах функции $P^m_{l}(x)$ представляют замкнутую систему собственных функций самосопряженного оператора в левой части уравнения

$$-\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d\Theta}{dx}\right]+\frac{m^2}{1-x^2}\Theta=l(l+1)\Theta.$$ (6.77)

Они обладают свойством ортогональности

$$\int\limits_{-1}^1 P^m_{l}(x)P^m_{l^{\prime}}(x)=0\qquad (l\ne l^{ \prime}),$$

но еще не нормированы. Обозначим через

$$P^{*m}_{l}(x)=c_{lm}P^m_{l}(x)$$ (6.78)

функции, нормированные так, чтобы было

$$\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{+1} P^{*m}_{l}(x)P^{*m}_{l^{\prime}}(x)dx=\delta_{ll^{\prime}},$$ (6.79)

и найдем нормировочный множитель $c_{lm}$ .Мы имеем

$$\frac{2}{(c_{lm})^2}=\int\limits_{-1}^{+1} \left[P^m_{l}(x)\right]^2dx.$$ (6.80)

Для вычисления интеграла заменим в нем квадрат $P^m_{l}$ произведением выражений (4.49) и (4.50) $\S 4$ . Мы получим

$$\frac{2}{(c_{lm})^2}=(-1)^m\frac{(1+m)!}{(1-m)!}\frac{1}{(2^l l!)... ...^{+1}\frac{d^{l-m}(x^2-1)^l}{dx^{l-m}}\cdot\frac{d^{l+m}(x^2-1)^l}{dx^{l+m}}dx$$

Интегрируя $l-m$ раз по частям и замечая, что

$$\frac{d^{2l}(x^2-1)^l}{dx^{2l}}=(2l)!,$$

будем иметь

$$\frac{2}{(c_{lm})^2}=\frac{(1+m)!}{(1-m)!}\frac{(2l)!}{(2^l l!)^2}\int\limits_{-1}^{+1}(1-x^2)^l dx.$$

Последний интеграл вычисляется легко; он равен

$$\int\limits_{-1}^{+1}(1-x^2)^l dx=\frac{2}{2l+1}\cdot\frac{(2^l l!)^2}{(2l!)}.$$

Следовательно,

$$\frac{2}{(c_{lm})^2}=\int\limits_{-1}^{+1} \left[P^m_{l}(x)\right]^2dx=\frac{2}{2l+1}\cdot\frac{(1+m)!}{(1-m)!}.$$ (6.81)

Отсюда

$$c_{lm}=\sqrt{2l+1}\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} ,$$ (6.82)

и нормированными функциями будут

$$P^{*m}_{l}(x)=\sqrt{2l+1}\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P^m_{l}(x).$$ (6.83)

Выразим их непосредственно через производные. По формулам (4.49) и (4.50) $\S 4$ мы будем иметь

$$P^{*m}_{l}(x)=\sqrt{2l+1}\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\cdot\frac{d^{ l+m}}{dx^{l+m}}\frac{(x^2-1)^l}{2^l l!}$$ (6.84)

и

$$P^{*m}_{l}(x)=(-1)^m\sqrt{2l+1}\sqrt{\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}\cdot\frac{d^{ l-m}}{dx^{l-m}}\frac{(x^2-1)^l}{2^l l!}.$$ (6.85)

Отсюда видно, что

$$P^{*-m}_{l}(x)=(-1)^mP^{*m}_{l}(x).$$ (6.86)

Для нормированных функций рекуррентные формулы(5.68) и (5.67) $\S 5$ принимают вид

$$xP^{*m}_{l}(x)=\frac{\sqrt{l^2-m^2}}{\sqrt{4l^2-1}}P^{*m}_{l-1}(x)+\frac{\sqrt{(l+1)^2-m^2}}{\sqrt{4(l+1)^2-1}}P^{*m}_{l+1}(x),$$ (6.87)

$$\begin{multline} (1-x^2)^{1/2}P^{*m}_{l}(x)=-\frac{\sqrt{(l-m)(l-m-1)}}{\sqrt{4l... ...rt{(l+m+1)(l+m+2)}}{\sqrt{4(l+1)^2-1}}P^{*m+1}_{l+1}(x). \nonumber\end{multline}$$

(6.86)

В заключение выпишем несколько полиномов Лежандра и функций $P^{*m}_{l}(x)$ :

$$\begin{array}{cc} P_{0}(x)=1 & P_{1}(x)=x\\ P_{3}(x)=\frac{... ...=\sqrt{\frac{21}{16}}(1-x^2)^{\frac{1}{2}}(5x^2-1). \end{array}$$

$$\begin{array}{c} P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1),\\ P^{*1}_{1}... ...3}(x)=\sqrt{\frac{35}{16}}(1-x^2)^{\frac{3}{2}},\\ \end{array}$$