13.  Численный расчет тонкой структуры атома водорода

Определим расщепление уровней по формуле (3.225), подставив численные значения входящих в нее величин. Рассмотрим расщепление между уровнем $n=2, j=\frac{1}{2}$ (состояния атома водорода $2^2S_{\frac{1}{2}}\;$и $2^2P_{\frac{1}{2}}$ ) и уровнем $n=2, j=\frac{3}{2}$ (состояние атома водорода $2^2P_{\frac{3}{2}}$ ).

$$\left[1+\left(\frac{a}{n}\right)^2\left(\frac{n}{2}-\frac{3}{4}\r... ...]-\left[1+\left(\frac{a}{n}\right)^2\left(\frac{n}{1}-\frac{3}{4}\right)\right]$$ (13.293)

Раскрывая квадратные скобки, получим:

$$\frac{{a}^{2} \left( \frac{n}{2}-\frac{3}{4}\right) }{{n}^{2}}-\frac{{a}^{2} \left( n-\frac{3}{4}\right) }{{n}^{2}}$$ (13.294)

и после несложных преобразований будем иметь

$$-\frac{{a}^{2}}{2 n}$$ (13.295)

$$\frac{(1,6\cdot10^{-19})^4}{32\cdot3,14^2\cdot(8,85\cdot10^{-12})^2\cdot(1,05\cdot10^{-34})^2\cdot 4}=6.01375215161888\cdot {10}^{11}.$$ (13.296)

Умножим выражение (4) на массу электрона $m_{e}=9,1\cdot 10^{-31}$

$$6,013752\cdot 10^{11}\cdot 9,1\cdot 10^{-31}=5,4725\cdot 10^{-19}.$$ (13.297)

Зоммерфельдовская постоянная тонкой структуры ($a$ в работе [14] и $\gamma$ в [10]) дает для

$$\left\vert\frac{a^2}{2n}\right\vert=\frac{1}{137^2\cdot 4}=\frac{1}{75076}.$$ (13.298)

Из формулы (3.225) следует

$$\Delta E=E_{2, \frac{3}{2}}-E_{2, \frac{1}{2}}=\frac{a^2\vert E_{2}\vert}{2n}= 7,2893\cdot 10^{-24},$$ (13.299)

где

$$\vert E_{2}\vert=\frac{m_{e}e^4}{32\pi^2\varepsilon^2_{0}\hbar^2\cdot 4}$$ (13.300)

-модуль энергии электрона на уровне $n=2$ без учета тонкой структуры. Выразим расщепление уровней в электронвольтах. Разделим (2.13.295) на один электронвольт

$$\frac{7,2893\cdot 10^{-24}}{1,6\cdot 10^{-19}}\approx 4,56 .$$ (13.301)

В пересчете на частоты расщепление уровней равно

$$\Delta\nu=\frac{\Delta E}{2\pi\hbar}=\frac{7,2893\cdot 10^{-24}}{2\cdot 3,14\cdot 1,055\cdot 10^{-34}}=1,1\cdot 10^{10}=1,1\cdot 10^4 .$$ (13.302)

Найдем теперь разность уровней энергии, которые соответствуют дублету общей теории центрального поля (т.е. рассмотренному выше дублету атома водорода), по формуле (12.288), полученной в [10]. Расчет выполним в СГСЭ-системе единиц. Будем иметь

$$e^4=(4,8\cdot 10^{-10})^4=5,31\cdot 10^{-38}.$$ (13.303)

Без учета массы электрона (т.е. считая $a=\hbar^2/e^2$ ), получим

$$\frac{e^4}{2\hbar^2}=2,3847\cdot 10^{16}$$ (13.304)

и учитывая, что $\gamma^2=1/18769$ находим

$$\frac{e^4}{2\hbar^2}\cdot\gamma^2=1,27\cdot 10^{12}.$$ (13.305)

Из таблицы сопоставления квантовых чисел различным термам, приведенной в $\S8$ , видно, что в нашем случае орбитальное квантовое число $l=1$ и следовательно

$$\frac{1}{n^3l(l+1)}=\frac{1}{16}.$$ (13.306)

Подстановка этих значений в формулу (12.288) дает

$$\Delta E=7,941\cdot 10^{10}.$$ (13.307)

С учетом массы электрона имеем

$$\Delta E=7,941\cdot 10^{10}\cdot 0,911\cdot 10^{-27}=7,234\cdot 10^{-17}.$$ (13.308)

Разделив разность уровней энегии, учитывающую массу электрона на величину одного электронвольта, получим

$$\Delta E=\frac{7,2341\cdot 10^{-17}}{1,6\cdot 10^{-12}}=4,5\cdot10^{-5} .$$ (13.309)

Для частот расщепления уровней будем иметь

$$\Delta\nu=\frac{\Delta E}{2\pi\hbar}=\frac{7,2341\cdot10^{-17}}{2\cdot3,14\cdot1,055\cdot10^{-27}}=1,09\cdot10^{10}= 1,09\cdot10^4 .$$ (13.310)