12.  Тонкая структура водородных линий

Выразим теперь энергию (суммарный потенциал) через квантовые числа. Мы имеем, на основании (11.236) и (11.246) $\S 11$ ,

$$W=mc^2\cos\varepsilon=\displaystyle{\frac{mc^2(p+\sqrt{k^2-\gamma^2})}{\sqrt{\left(p+\sqrt{k^2-\gamma^2}\right)^2+\gamma^2}},}$$ (12.275)

или, на основании (11.264) $\S 11$ ,

$$W=mc^2\sqrt{1-\frac{\gamma^2}{n^{*^2}}}.$$ (12.276)

Формула (12.271) носит название формулы Зоммерфельда.

Как мы уже отметили в конце $\S 7$ , теория Дирака дает здесь только положительные уровни. Наименьший уровень (основное состояние водорода) соответствует квантовым числам $k=+1, p=0, (n=1)$ , он равен

$$W_{0}=mc^2\sqrt{1-\gamma^2}.$$ (12.277)

Весь точечный спектр располагается в промежутке

$$mc^2\sqrt{1-\gamma^2}\le W<mc^2,$$ (12.278)

тогда как в промежутке

$$-mc^2<W<mc^2\sqrt{1-\gamma^2}$$ (12.279)

собственных значений энергии нет.

Для сравнения формулы Зоммерфельда с формулой Ридберга, полученной по теории Шредингера, мы перейдем к приближенным формулам. Извлекая приближенно квадратный корень в (12.272), мы будем иметь

$$W=mc^2\sqrt{1-\frac{\gamma^2}{n^{*^2}}}=mc^2-\frac{1}{2}\frac{mc^2\gamma^2}{n^{*^2}}-\frac{1}{8}\frac{mc^2\gamma^4}{n^{*^4}}.$$ (12.280)

Но, согласно (11.237) и (11.252) $\S 11$ ,

$$mc^2\gamma^2=\frac{e^2}{a},$$ (12.281)

тогда как формулы (11.265) и (11.266) $\S 11$ дают

$$n^{*^2}=n^2+2(n-\vert k\vert)(\sqrt{k^2-\gamma^2}-\vert k\vert).$$ (12.282)

Пользуясь этими выражениями, получаем, с точностью до членов порядка $mc^2\gamma^6$ ,

$$W=mc^2-\frac{e^2}{2an^2}-\frac{e^2}{8a}\frac{\gamma^2}{n^3}\left(\frac{4}{\vert k\vert}-\frac{3}{n}\right).$$ (12.283)

Первый член дает постоянную энергию (релятивистскую энергию покоя). Второй член дает формулу Ридберга, а третий-релятивистскую поправку к ней. Эта поправка зависит не только от главного квантового числа $n$ , но и от числа $k$ . Поэтому уровень энергии водорода, который по теории Шредингера зависел только от $n$ и не менялся при изменении азимутального квантового числа $l$ , распадается здесь на ряд весьма близких друг к другу уровней, которые получаются, если в формуле (12.279) давать числу $k$ все допустимые значения (11.269) $\S 11$ . В результате получится наблюдаемая на опыте тонкая структура водородных линий. Заметим, что уровни энергии зависят только от модуля $k$ (т.е. от $j$ , а не от $l$ ), так что, например, термы $P_{3/2}$ и $D_{3/2}$ для водорода совпадают.

Найдем теперь разность тех уровней энергии, которые соответствуют дублету общей теории центрального поля (дублету щелочных металлов), т.е. величину

$$\Delta W=W(n, k)-W(n, -k+1).$$ (12.284)

Формула (12.279) дает, если считать $k>0$ и положить $k=l+1$ ,

$$\Delta W=\frac{e^2\gamma^2}{2an^3l(l+1)}.$$ (12.285)

С другой стороны, мы вычисляли ту же величину для общего случая центрального поля (формула (6.135) $\S 6$ ). Применим эту формулу к водороду. Мы имеем

$$\Delta E=\frac{\hbar^2}{4m^2c^2}(2l+1)\int\limits_{0}^{\infty}\frac{e^2}{r^3}[f^0_{1}(r)]^2dr.$$ (12.286)

В этой формуле мы должны положить

$$r=ar_{1},\qquad [f^0_{1}(r)]^2dr=r^2_{1}R^2_{nl}(r_{1})dr_{1},$$ (12.287)

так что

$$\Delta E=\frac{e^2\gamma^2}{4a}(2l+1)\int\limits_{0}^{\infty}R^2_{nl}(r_{1})\frac{dr_{1}}{r_{1}} .$$ (12.288)

Пользуясь выражением (6.133) $\S 6$ гл. $V$ ч. $II$ для $R_{nl}(r_{1})$ и вводя переменную интегрирования $x=\frac{2r_{1}}{n}$ , получим

$$\Delta E=\frac{e^2\gamma^2}{a}\cdot\frac{2l+1}{n^4}\int\limits_{0}^{\infty} x^{2l-1}e^{-x}[Q^{* 2l+1}_{n-l-1}(x)]^2dx.$$ (12.289)

Обозначим интеграл через $I$ . Если мы положим $n-l-1=p, 2l+1=s$ , его можно написать в виде

$$I=\int\limits_{0}^{\infty} x^{s-2}e^{-x}[Q^{*s}_{p}(x)]^2dx.$$ (12.290)

Этот интеграл мы уже вычисляли в $\S 4$ гл. $V$ ч. $II$ [формулы (4.61) и (4.63)], он равен

$$I=\frac{2p+s+1}{(s-1)s(s+1)}=\frac{n}{2(2l+1)l(l+1)}.$$ (12.291)

Подстановка этого выражения в (12.285) дает

$$\Delta E=\frac{e^2}{2a}\frac{\gamma^2}{n^3l(l+1)}.$$ (12.292)

т.е. прежний результат (12.281).