6.  Сравнение с уравнением Шредингера

В уравнениях (5.122) $\S 5$ можно избавиться от комплексных коэффициентов, положив

$$\frac{f+g}{\sqrt{2}}=f_{1},\qquad \frac{f-g}{i\sqrt{2}}=f_{2},$$ (6.126)

откуда

$$f_{1}+if_{2}=\sqrt{2}f,\qquad f_{1}-if_{2}=\sqrt{2}g.$$ (6.127)

Складывая и вычитая оба уравнения (5.122) $\S 5$ , получим для новых функций $f_{1}$ и $f_{2}$ систему из двух уравнений первого порядка с вещественными коэффициентами

$$\left. \begin{array}{rcl} \frac{df_{1}}{dr}-\frac{k}{r}f_{1}=\fra... ...2}}{dr}+\frac{k}{r}f_{2}=\frac{-mc^2+W-U}{\hbar c}f_{1}. \end{array} \right\}$$ (6.128)

Когда энергия $W$ близка к $+mc^2$ , коэффициент при $f_{2}$ в первом уравнении гораздо больше коэффициента при $f_{1}$ во втором уравнении; поэтому $f_{2}$ весьма мало по сравнению с $f_{1}$ :

$$\vert f_{2}\vert\ll\vert f_{1}\vert,$$ (6.129)

а следовательно, функции $f$ и $g$ в уравнении (5.122) $\S 5$ почти равны друг другу (и почти вещественны). Для сравнения системы уравнений (6.125) с уравнением Шредингера положим

$$W=mc^2+E$$ (6.130)

и будем считать величины $\frac{E}{mc^2}$ и $\frac{E-U}{mc^2}$ весьма малыми по сравнению с единицей. Если мы ими пренебрежем, мы получим

$$\left. \begin{array}{rcl} \frac{df^0_{1}}{dr}-\frac{k}{r}f^0_{1}=... ..._{2}}{dr}+\frac{k}{r}f^0_{2}=\frac{E-U}{\hbar c}f^0_{1}. \end{array} \right\}$$ (6.131)

где $f^0_{1}$ и $f^0_{2}$ -приближенные значения функций $f_{1}$ и $f_{2}$ . Исключая из этих уравнений $f^0_{2}$ , получим для $f^0_{1}$ уравнение

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2f^0_{1}}{dr^2}+\frac{\hbar^2(k-1)k}{2mr^2}f^0_{1}+Uf^0_{1}=Ef^0_{1}.$$ (6.132)

Если мы положим здесь

$$f^0_{1}=rR(r),$$ (6.133)

то уравнение для $R(r)$

$$\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dR}{dr}-\frac{k(k-1)}{r^2}R+\frac{2m}{\hbar^2}[E-U(r)]R=0$$ (6.134)

в точности совпадает с уравнением Шредингера для радиальной функции (3.28) $\S 3$ гл. $IV$ ч. $II$ , если только Шредингеровское квантовое число $l$ связано с нашим квантовым числом $k$ соотношением

$$k(k-1)=l(l+1),$$ (6.135)

которое совпадает с (17) $\S 3$ ч. $III$ , [12]. Таким образом, введенное в $\S 3$ ч. $III$ число $l$ (т.е. порядок обыкновенных шаровых функций, через которые выражаются шаровые функции со спином) есть не что иное, как азимутальное квантовое число теории Шредингера.

Из уравнений (6.125) можно исключить $f_{2}$ и не делая пренебрежений; при этом получается

$$\begin{array}{l} \frac{d^2f_{1}}{dr^2}-\frac{k(k-1)}{r^2}f_{1... ...k}{r}f_{1}\right)- \frac{(E-U)^2}{\hbar^2c^2}f_{1}. \end{array}$$ (6.136)

В правой части стоят малые члены, представляющие поправку на теорию относительности и на спин. Для двух значений

$$k=l+1 \qquad k=-l,$$ (6.137)

для которых левая часть (6.133) одна и та же, значения этой поправки различны. Разность поправок к уровням энергии (диагональных элементов матрицы для поправочных членов) дает приближенное значение расстояния между термами, а именно,

$$\Delta E=E(k)-E(-k+1)=\frac{\hbar^2}{4m^2c^2}(2k-1)\int\limits_{0}^\infty\frac{1}{r}\frac{dU}{dr}[f^0_{1}(r)]^2dr,$$ (6.138)

где $f^0_{1}(r)$ -решение уравнения (6.129), нормированное так, чтобы было

$$\int\limits_{0}^\infty[f^0_{1}(r)]^2dr=1.$$ (6.139)

Отметим здесь одно преобразование уравнения (6.133). Если мы положим

$$f_{1}=\sqrt{1+\frac{E-U}{2mc^2}} \varphi,$$ (6.140)

то уравнение для $\varphi$ , будет

$$\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{d^2\varphi}{dr^2}-\frac{... ...(2mc^2+E-U)^2}\left(\frac{dU}{dr}\right)^2\varphi.} \end{array}$$ (6.141)

Это уравнение уже не содержит первой производной от неизвестной функции. Если считать, что $\left\vert r\frac{dU}{dr}\right\vert\ll mc^2$ , то последний член в правой части (6.138) можно отбросить. В первом члене правой части можно пренебречь величиной $E-U$ по сравнению с $2mc^2$ .