7.  Общее исследоание уравнений для радиальных функций

Обратимся теперь к исследованию уравнений (6.125) $\S 6$ . Эти уравнения имеют две особые точки:

$$r=0$$   и$$\qquad r=\infty.$$

Начнем с исследования вблизи $r=0$ . Положим, что при малых $r$ потенциальная энергия $U(r)$ разлагается в ряд вида

$$U(r)=-\frac{A_{1}}{r}+A^{\prime}+A^{\prime\prime}r+\cdots$$ (7.142)

Коэффициент $-A_{1}$ равен, как мы уже отметили в $\S 7$ гл. $IV$ ч. $II$ , произведению заряда ядра $Ne$ на заряд электрона $-e$ , так что $A_{1}=Ne^2$ .

Отбрасывая в коэффициентах правых частей уравнений (6.125) $\S 6$ все члены, кроме тех, которые обращаются в бесконечность при $r=0$ , получим

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{\frac{df_{1}}{dr}-\frac{k... ...{2}=-\frac{A_{1}}{\hbar c}\cdot\frac{1}{r}f_{1}+\cdots} \end{array} \right\}$$ (7.143)

Положим, что вблизи $r=0$

$$\left. \begin{array}{lcr} f_{1}=a_{1}r^{\varepsilon}+a_{1}^{\prim... ...r^{\varepsilon}+a_{2}^{\prime}r^{\varepsilon+1}+\cdots, \end{array} \right\}$$ (7.144)

и подставим эти выражения в уравнения (7.140). Приравнивая коэффициенты при $r^{ \varepsilon-1}$ , получим систему линейных однородных уравнений

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{a_{1}(\varepsilon-k)+\fra... ...yle{-\frac{A_{1}}{\hbar c}a_{1}+(\varepsilon+k)a_{2}=0} \end{array} \right\}$$ (7.145)

для определения $a_{1}$ и $a_{2}$ . Эти уравнения имеют решение, если определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю

$$\varepsilon^2-k^2+\frac{A^2_{1}}{\hbar^2 c^2}=0.$$ (7.146)

Отсюда получается для показателя $\varepsilon$ значение

$$\varepsilon=\pm\sqrt{k^2-\frac{A^2_{1}}{\hbar^2 c^2}}=\pm\varepsilon_{0},$$ (7.147)

где $\varepsilon_{0}$ есть положительная величина

$$\varepsilon_{0}=\sqrt{k^2-N^2\left(\frac{e^2}{\hbar c}\right)^2}.$$ (7.148)

Постоянная $\frac{e^2}{\hbar c}$ есть отвлеченное число, равное приблизительно $\frac{1}{137}$ .

Поэтому при всех допустимых значениях $N$ и $k$ величина, стоящая под корнем в (7.144), будет положительна. Постоянная

$$\gamma=\frac{e^2}{\hbar c}=\frac{1}{137}$$ (7.149)

носит название Зоммерфельдовской $(Sommerfeld)$ постоянной тонкой структуры.

Таким образом, вблизи $r=0$ общее решение уравнений (6.125) $\S 6$ имеет вид

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{f_{1}=ar^{\varepsilon_{0}... ...{0}+k)}+\cdots\right]+br^{-\varepsilon_{0}}(1+\cdots).} \end{array} \right\}$$ (7.150)

Чтобы функции $f_{1}$ и $f_{2}$ обращались в нуль при $r=0$ , необходимо, чтобы постоянная $b$ равнялась нулю.

Если $k^2=1$ , то $\varepsilon_{0}=\sqrt{1-\left(\frac{N}{137}\right)^2}<1$ . Поэтому, хотя $f_{1}$ и $f_{2}$ , а следовательно, и $\psi^{*}$ будут обращаться в нуль при $r=0$ , но первоначальная функция $\psi=\frac{\psi^{*}}{r\sqrt{\sin\vartheta}}$ будет (для $\vert k\vert=1$ ) обращаться при $r\to 0$ в бесконечность, как

$$r^{\varepsilon_{0}-1}=r^{\sqrt{1-(N/137)^2}-1}.$$ (7.151)

В этом можно видеть некоторый недостаток теории. Это обстоятельство связано, быть может, с тем, что нельзя экстраполировать Кулонов закон притяжения на расстояния столь малые, что

$$\frac{Ne^2}{r}>mc^2,$$ (7.152)

т.е.

$$r<N\cdot3\cdot10^{-13} .$$ (7.153)

Займемся теперь исследованием уравнения для больших значений $r$ . Положим, как и в $\S 7$ гл. $IV$ ч. $II$ кн. [12], что на больших расстояниях потенциал положения (потенциальная энергия) имеет вид

$$U(r)=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^2}+\cdots$$ (7.154)

Будем искать решения уравнений (6.125) $\S 6$ в виде

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{f_{1}=e^{\alpha r}(a_{1}r... ...=e^{\alpha r}(a_{2}r^{\beta}+b_{2}r^{\beta-1}+\cdots).} \end{array} \right\}$$ (7.155)

Подставим эти выражения в уравнения и приравняем коэффициенты в членах порядка $e^{\alpha r}r^{\beta}$ и $e^{\alpha r}r^{\beta-1}$ . Мы получим

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{a_{1}\alpha+a_{2}\frac{mc... ...isplaystyle{a_{1}\frac{mc^2-W}{\hbar c}+a_{2}\alpha=0,} \end{array} \right\}$$ (7.156)

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{b_{1}\alpha+b_{2}\frac{mc... ... c}+b_{2}\alpha=a_{1}\frac{A}{\hbar c}-a_{2}(\beta+k),} \end{array} \right\}$$ (7.157)

Приравнивая нулю определитель в уравнениях (7.153), получаем для постоянной $\alpha$ значения

$$\alpha=\pm\frac{1}{\hbar c}\sqrt{m^2c^4-W^2}.$$ (7.158)

Левые части уравнений (7.154) имеют те же коэффициенты, что и уравнения (7.153). Пользуясь тем, что определитель из этих коэффициентов равен нулю, мы можем исключить из уравнений (7.154) $b_{1}$ и $b_{2}$ , если умножим первое уравнение на $-\alpha$ , второе на $\frac{mc^2+W}{\hbar c}$ и сложим. Мы получим

$$a_{1}\alpha(\beta-k)+a_{2}\alpha\frac{A}{\hbar c}+a_{1}\frac{mc^2+W}{\hbar c}\frac{A}{\hbar c}-a_{2}\frac{mc^2+W}{\hbar c}(\beta+k)=0,$$

откуда, выражая $a_{2}\alpha$ и $a_{2}\frac{mc^2+W}{\hbar c}$ при помощи (7.153) через $a_{1}$ , будем иметь после упрощений

$$2a_{1}\alpha\beta+2a_{1}\frac{W}{\hbar c}\cdot\frac{A}{\hbar c}=0.$$

Это уравнение дает для $\beta$ значение

$$\beta=-\frac{AW}{\alpha\hbar^2c^2}.$$ (7.159)

Постоянных $b_{1}$ и $b_{2}$ мы определять не будем.

Сообразно двум знакам у $\alpha$ общий интеграл будет иметь вид

$$\begin{array}{l} \displaystyle{f_{1}=C_{1}\frac{mc^2+W}{\hbar... ...ta}\left(1+\frac{b^{\prime}_{1}}{r}+\cdots\right).} \end{array}$$ (7.160)

или

$$\begin{array}{l} \displaystyle{f_{2}=-C_{1}\alpha e^{\alpha r... ...ta}\left(1+\frac{b^{\prime}_{2}}{r}+\cdots\right).} \end{array}$$ (7.161)

Если мы предположим

$$\vert W\vert>mc^2,$$ (7.162)

то величины $\alpha$ и $\beta$ будут часто мнимыми и функции $f_{1}$ и $f_{2}$ будут при $r\to\infty$ оставаться конечными при любом выборе постоянных $C_{1}$ и $C_{2}$ . Но эти постоянные мы можем выбрать так, чтобы $f_{1}$ и $f_{2}$ обращались в нуль при $r=0$ . Следовательно, мы можем утверждать, что область (7.159) принадлежит сплошному спектру. Точечного спектра в этой области быть не может, так как при $\alpha$ чисто мнимом $f_{1}$ и $f_{2}$ не обладают интегрируемым квадратом.

Если же

$$-mc^2<W<mc^2,$$ (7.163)

то величина $\alpha$ будет вещественной: мы будем считать ее положительной. Поэтому функции $f_{1}$ и $f_{2}$ либо быстро возрастают (если $C_{1}\ne 0$ ), либо быстро убывают (если $C_{1}=0$ ) на бесконечности, так что в этом промежутке сплошного спектра быть не может, и либо существует точечный спектр, либо вообще нет собственных значений.

Если, наконец,

$$W=\pm mc^2,$$ (7.164)

то величина $\alpha$ равна нулю, а $\beta$ обращается в бесконечность, так что выражения (7.157) становятся неприменимыми. Асимптотичесие решения наших уравнений нужно искать в виде, аналогичном (7.97) $\S 7$ гл. $IV$ ч. $II$ . Если мы положим

$$\alpha_{0}=\sqrt{\frac{8mA}{\hbar^2}},$$ (7.165)

мы получим, путем рассуждений, аналогичных тольео что изложенным, для случая $W=-mc^2$

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{f_{1}=-C_{1}\frac{\hbar \... ...ots+C_{2}e^{-\alpha_{0}\sqrt{r}}r^{\frac{1}{4}}+\cdots} \end{array} \right\}$$ (7.166)

и для случая $W=+mc^2$

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{f_{1}=C_{1}e^{i\alpha_{0}... ...}}{4mc}e^{-i\alpha_{0}\sqrt{r}}r^{-\frac{1}{4}}+\cdots} \end{array} \right\}$$ (7.167)

Когда мы имеем на больших расстояниях притяжение, то $A>0$ и величина $\alpha_{0}$ вещественна. В этом случае точка $W=+mc^2$ принадлежит к сплошному спектру энергии, а точка $W=-mc^2$ нет. В случае же отталкивания $A<0$ и $\alpha_{0}$ чисто мнимо; тогда к сплошному спектру относится точка $W=-mc^2$ , а не $W=+mc^2$ .

Таким образом, мы установили, что областью сплошного спектра будет в случае притяжения

$$W<-mc^2,\qquad W\ge+mc^2\qquad (A>0)$$ (7.168)

и в случае отталкивания

$$W\le-mc^2,\qquad W>mc^2\qquad (A<0),$$ (7.169)

тогда как точечный спектр возможен только, если

$$\vert W\vert<mc^2.$$ (7.170)

Из уравнений (6.125) $\S 6$ для радиальных функций мы можем вывести некоторые общие следствия относительно расположения уровней энергии точечного спектра.

Умножая первое уравнение (6.125) $\S 6$ на $f_{2}$ и второе на $f_{1}$ и складывая, получим

$$\frac{d}{dr}(f_{1}f_{2})=-\frac{1}{\hbar c}[(mc^2+W-U)f^2_{2}+(mc^2-W+U)f^2_{1}].$$ (7.171)

Интегрируя это выражение от 0 до $\infty$ и учитывая поведение функций точечного спектра на пределах, получим слева нуль, тогда как правая часть дает

$$\int\limits_{0}^{\infty}U(f^2_{1}-f^2_{2})dr=-\int\limits_{0}^{\infty}[(mc^2+W)f^2_{2}+(mc^2-W)f^2_{1}]dr.$$ (7.172)

Но мы знаем, что для точечного спектра $W$ лежит между $-mc^2$ и $+mc^2$ , поэтому правая часть отрицательна, и мы имеем неравенство

$$\int\limits_{0}^{\infty}U(f^2_{1}-f^2_{2})dr<0.$$ (7.173)

Отсюда следует, что при $U$ отрицательном (притяжение) $f^2_{1}$ в среднем больше $f^2_{2}$ . Как мы видели в $\S 6$ формула (6.126), это будет в том случае, когда $W$ близко к $+mc^2$ , т.е. когда $W>0$ . Следовательно, в случае притяжения отрицательных уровней энергии, принадлежащих точечному спектру, не существует.

В случае же отталкивания ($U>0$ ) не существует положительных уровней энергии, но могут оказаться отрицательные. Эти отрицательные уровни (как и состояния с отрицательной кинетической энергией, о которых говорилось в $\S 12$ гл. $I$ кн. [10]) не могут иметь прямого физического смысла.