8.  Квантовые числа

Согласно результатам данного исследования, стационарное состояние электрона в центральном поле может быть характеризовано параметром энергии и квантовыми числами $k$ и $m$ , из которых первое связано с полным моментом количества движения, а второе-с составляющей его по оси $z$ . Для точечного спектра энергия $W$ будет зависеть от некоторого третьего (главного или радиального) квантового числа, которое вводится при решении уравнения для радиальных функций, и, кроме того, от числа $k$ , которое входит в эти уравнения как параметр. Таким образом, здесь, как и в теории Шредингера, состояние электрона для точечного спектра описывается тремя квантовыми числами, причем энергия зависит от двух из них.

Как показано в $\S 6$ , главные члены уравнения второго порядка, аналогичного уравнению Шредингера, содержит квадратичное выражение $k(k-1)$ , тогда как число $k$ в отдельности входит лишь в поправочный член. При этом $k(k-!)$ входит в уравнение так же, как $l(l+1)$ в уравнении теории Шредингера, так что можно положить

$$k(k-1)=l(l+1),$$ (8.174)

откуда

$$\left\vert k-\frac{1}{2}\right\vert=l+\frac{1}{2}.$$ (8.175)

Поэтому те два уровня энергии, которые соответствуют одному и тому же главному квантовому числу $n$ и одному и тому же $l$ (или $\vert k-\frac{1}{2}\vert$ ), но двум разным значениям $k$ :

$$k=l+1,\qquad k=-l,$$ (8.176)

будут весьма близки друг к другу, они будут образовывать дублет. Исключение представляет случай $l=0$ . Так как $k$ не может принимать значения нуль, то остается только один уровень, для которого $k=+1$ .

Расстояние между термами дублета было вычислено нами в $\S 6$ [формула (6.135)].

Таким образом, теория Дирака дает требуемое опытом удвоение (по сравнению с теорией Шредингера) уровней энергии, причем уровень, для которого $l=0$ , получается простым, как этого и требует опыт. В этом удвоении проявляется одна из двух добавочных (внутренних) степеней свободы электрона, о которых говорилось в $\S 12$ гл. $I$ кн. [12].

Два уровня дублета принято отличать друг от друга значениями некоторого нового квантового числа, которое обозначается буквой $j$ . Квантовое число $j$ , так же как и $l$ , однозначно выражается через $k$ , а именно,

$$j=\vert k\vert-\frac{1}{2},$$ (8.177)

Таким образом, $j$ может принимать положительные значения, равные целому числу с половиной.

Так как число значений магнитного квантового числа $m$ при данном $k$ равно $2\vert k\vert$ , число $j$ дает кратность уровня, которая будет равна

$$2\vert k\vert=2j+1$$ (8.178)

Из сравнения (8.174) с (8.172) следует, что $j$ отличается от $l$ на $\pm1/2$ , а именно

$$\left. \begin{array}{rcl} \displaystyle{j=l+\frac{1}{2}\qquad\mbo... ...isplaystyle{j=l-\frac{1}{2}\qquad\mbox{при}\qquad k<0.} \end{array} \right\}$$ (8.179)

Зная $l$ и $j$ , можно по этой формуле получить знак $k$ , а следовательно, и самое $k$ .

В спектроскопии принято обозначать термы с различными значениями $l=0, 1, 2, \cdots$ буквами $S, P, D, \cdots$ , причем значение $j$ приписывается у этих букв в качестве нижнего значка. Сопоставление квантовых чисел различным термам можно представить в виде следующей таблицы:

$$\begin{array}{cccc} k=+1,& l=0,& j=1/2,& S,\\ k=-1,& l=1,& ... ...\\ k=+3,& l=2,& j=5/2,& P_{5/2},\\ \hdotsfor {4} \end{array}$$

Вопрос о том, между какими термами возможны переходы, решается на основании правила отбора.