9.  Гейзенберговы матрицы и правило отбора

Волновую функцию, соответствующую квантовым числам $n, k, m$ (где $n$ -главное квантовое число), мы будем обозначать буквой $\psi$ или какой-нибудь другой буквой без штриха, а волновую функцию с квантовыми числами $n^{\prime}, k^{\prime}, m^{\prime}$ -символом $\psi^{\prime}$ или соответствующей буквой со штрихом (звездочку *, которой мы отмечали в $\S 4$ волновые функции в сферических координатах, мы здесь отбрасываем).

Если функция $\psi$ нормирована так, чтобы было

$$\iiint\bar{\psi}\psi drd\vartheta d\varphi=1,$$ (9.180)

то элемент Гейзенберговой матрицы для какой-нибудь из координат, например $x$ , будет равен

$$\begin{array}{l} (n, k, m\vert x\vert n^{\prime}, k^{\prime},... ...r{\psi_{4}}\psi^{\prime}_{4})drd\vartheta d\varphi. \end{array}$$ (9.181)

Если подставить в (9.177) вместо $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \psi_{4}$ их выражения (4.106) §4, условие нормировки напишется

$$\iiint(\bar{f}f+\bar{g}g)(\bar{Y}Y+\bar{Z}Z)drd\vartheta d\varphi=1.$$ (9.182)

Это условие будет выполнено, если

$$\int\limits_{0}^{\infty}(\bar{f}f+\bar{g}g)dr=1$$ (9.183)

и

$$\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\bar{Y}Y+\bar{Z}Z)d\vartheta d\varphi=1.$$ (9.184)

Подстановка же выражений (4.106) §4 в формулу (9.178) дает

$$(n, k, m\vert x\vert n^{\prime}, k^{\prime}, m^{\prime})=\iiint x... ...}+\bar{g}g^{\prime})(\bar{Y}Y^{\prime}+\bar{Z}Z^{\prime})drd\vartheta d\varphi.$$ (9.185)

Аналогичные выражения получаются для координат $y\;$и $z$ .

Как и в теории Шредингера, тройные интегралы вида (9.182) разбиваются на произведения простых интегралов, и если мы положим

$$r_{D}(n, k; n^{\prime}, k^{\prime})=\int\limits_{0} r(\bar{f}f^{\prime}+\bar{g}g^{\prime})dr,$$ (9.186)

то элементы Гейзенберговых матриц для координат $x,y,z$ будут равны произведению величины $(\ref{agt.327})$ соответственно на

$$(k,m\vert\sin\vartheta\cos\varphi\vert k^{\prime},m^{\prime})=\ii... ...n\vartheta\cos\varphi(\bar{Y}Y^ {\prime}+\bar{Z}Z^{\prime})d\vartheta d\varphi,$$ (9.187)

$$(k,m\vert\sin\vartheta\sin\varphi\vert k^{\prime},m^{\prime})=\ii... ...n\vartheta\sin\varphi(\bar{Y}Y^ {\prime}+\bar{Z}Z^{\prime})d\vartheta d\varphi,$$ (9.188)

$$(k,m\vert\cos\vartheta\vert k^{\prime},m^{\prime})=\iint\cos\vartheta(\bar{Y}Y^ {\prime}+\bar{Z}Z^{\prime})d\vartheta d\varphi,$$ (9.189)

Для вычисления этих интегралов выразим $Y$ и $Z$ по формулам (4) и (13) $\S 3$ ч. $III$ кн. [12] через $y_{1}$ и $y_{2}$ . Мы будем иметь

$$\bar{Y}Y^{\prime}+\bar{Z}Z^{\prime}=\frac{1}{4\pi}e^{i(m^{\prime}-m)\varphi}(y_{1}y_{1}^{\prime}+y_{2}y^{\prime}_{2})\sin\vartheta,$$ (9.190)

Вычислим сперва интеграл (9.186). Очевидно, что он будет отличен от нуля только, если $m^{\prime}=m$ ; в этом же случае он будет равен

$$(k,m\vert\cos\vartheta\vert k^{\prime},m)=\frac{1}{2}\int\limits_... ...\cos\vartheta(y_{1}y_{1}^{\prime}+y_{2}y^{\prime}_{2})\sin\vartheta d\vartheta,$$ (9.191)

или, если мы воспользуемся обозначениями $\S 4$ ч. $III$ кн. [10],

$$(k,m\vert\cos\vartheta\vert k^{\prime},m)=\frac{1}{2}\int\limits_... ...artheta\cdot y(k,m,\vartheta)y(k^{\prime},m,\vartheta)\sin\vartheta d\vartheta,$$ (9.192)

Выражая здесь произведение $\cos\vartheta\cdot y(k,m,\vartheta)$ по формуле (9) $\S 4$ ч. $III$

$$\begin{array}{l} \displaystyle{\cos\vartheta\cdot y(k,m,\vart... ...(k+m)(k-m-1)}}{\vert 2k-1\vert}y(k-1,m,\vartheta),} \end{array}$$ (9.193)

мы можем, на основании ортогональности функций $y$ , заключить, что интеграл (9.188) может быть отличен от нуля только в трех случаях:

$$k^{\prime}=-k,\quad k^{\prime}=k+1,\quad k^{\prime}=k-1.$$ (9.194)

В этих же случаях он равен соответственным коэффициентам в формуле (9.190), а именно,

$$(k,m\vert\cos\vartheta\vert-k,m)=-\frac{2m+1}{4k^2-1},$$ (9.195)

$$(k,m\vert\cos\vartheta\vert k+1,m)=\frac{\sqrt{(k-m)(k+m+1)}}{\vert 2k+1\vert},$$ (9.196)

$$(k,m\vert\cos\vartheta\vert k-1,m)=\frac{\sqrt{(k+m)(k-m-1)}}{\vert 2k-1\vert}.$$ (9.197)

Аналогично вычисляются два первых интеграла (9.184) и (9.185). Для вычисления удобно составить, подобно тому, как это мы делали в $\S 9$ гл. $IV$ ч. $II$ , их линейную комбинацию

$$\begin{array}{l} \displaystyle{(k,m\vert\sin\vartheta e^{i\va... ...m^{\prime},\vartheta^{\prime})d\vartheta d\varphi,} \end{array}$$ (9.198)

которая будет, очевидно, отлична от нуля только, если $m^{\prime}=m-1$ . При выполнении же этого условия она равна

$$\begin{array}{l} \displaystyle{(k,m\vert\sin\vartheta e^{i\va... ...m,\vartheta)y(k^{\prime},m-1,\vartheta)d\vartheta.} \end{array}$$ (9.199)

Выразив здесь произведение $\sin\vartheta\cdot y(k^{\prime},m-1,\vartheta)$ по формуле (10) $\S 4$ ч. $III$ кн. [12]

$$\begin{array}{l} \displaystyle{\sin\vartheta\cdot y(k^{\prime... ...m)}}{2k^{\prime}+1} y(k^{\prime}+1,m,\vartheta), } \end{array}$$ (9.200)

мы убедимся, что интеграл (9.196) отличен от нуля лишь в тех трех случаях (9.191), когда он равен

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{(-k^{\prime},m\vert\sin\v... ...ac{\sqrt{(k^{\prime}+m+1)(k^{\prime}+m)}}{2k^{\prime}+1},} \end{array} \right\}$$ (9.201)

или, если мы выразим $k^{\prime}$ через $k$ ,

$$\left. \begin{array}{lcr} \displaystyle{(k,m\vert\sin\vartheta e^... ...\varphi}\vert k-1,m-1)= \frac{\sqrt{(k+m)(k+m-1)}}{2k+1},} \end{array} \right\}$$ (9.202)

Отсюда получаются по формулам, аналогичным (23) и (24) $\S 9$ гл.$IV$ ч. $II$ , элементы матриц (9.184) и (9.185), которые мы выпишем в виде таблицы:

$$\begin{array}{l\vert c\vert r} \hline 0& (k,m\vert\sin\vart... ...ac{i}{2}\frac{\sqrt{(k-m-1)(k-m-2)}}{2k-1} \hline \end{array}$$

Полученные результаты заключают в себе правило отбора, на основании которого можно судить, между какими термами переходы возможны и между какими они невозможны.

Правило отбора для квантового числа $m$ будет то же, что и в теории Шредингера, а именно, для координаты $z$ (свет, поляризованный по оси $z$ )

$$m^{\prime}=m$$ (9.203)

и для координат $x$ и $y$ (свет, поляризованный в плоскости $xy$ )

$$m^{\prime}=m\pm1.$$ (9.204)

Уровни, отличающиеся друг от друга значением квантового числа $m$ , можно различить лишь в магнитном поле, направленном по оси $z$ ; поэтому неудивительно, что в правиле отбора для $m$ ось $z$ играет особую роль: ее направление физически отмечено направлением магнитного поля.

Правило отбора для $k$ будет

$$k^{\prime}=-k,\quad k^{\prime}=k+1,\quad k^{\prime}=k-1.$$ (9.205)

Согласно этому правилу, квантовое число $l=\left\vert k-\frac{1}{2}\right\vert-\frac{1}{2}$ всегда меняется на единицу, как и в теории Шредингера. Но не все переходы вида $l^{\prime}=l\pm1$ возможны: необходимо еще второе условие для квантового числа $j$ , а именно, чтобы оно либо оставалось без изменения, либо менялось только на единицу. Например, переход между термами $P_{1/2}$ и $D_{3/2}$ возможен, тогда как между $P_{1/2}$ и $D_{5/2}$ он запрещен.