4.  Обобщенные шаровые функции

Для нахождения общих собственных функций опараторов ${\cal M}_{D}=\rho_{c}{\cal M}$ и ${\cal M}_{z}$ необходимо преобразовать их к сферическим координатам. Это преобразование мы будем сопровождать каноническим преобразованием четырехкомпонентной волновой функции, аналогичным тому, какое применялось в $\S 2$ ч. $III$ кн. [12] к двухкомпонентной волновой функции теории Паули.

Четырехрядные матрицы $\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},$ соответствующие нашему выбору матриц Дирака, мы будем обозначать^2.1 через $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ . Согласно формулам (4.46) $\S 4$ гл.$I$ ч. $V$ , мы имеем

$$s_{1}=\left\vert \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 0& 1& 0... ...0& 0& 0 0& -1& 0& 0 0& 0& -1& 0 0& 0& 0& 1 \end{array} \right\vert.$$ (4.90)

Чтобы выразить операторы ${\cal M}_{z}$ и ${\cal M}$ в сферических координатах, мы можем воспользоваться формулами, выведенными в $\S 2$ ч. $III$ кн. [10] на основе теории Паули, с той только разницей, что мы должны заменить фигурирующие в них матрицы $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ на $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ . Выпишем главнейшие из этих формул вновь (в новых обозначениях).

В сферических координатах $r, \vartheta, \varphi,$ связанных с прямоугольными $x,y,z$ обычными соотношениями

$$x=r\sin\vartheta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\vartheta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\vartheta,$$ (4.91)

операторы ${\cal M}_{z}$ и ${\cal M}$ имеют вид

$${\cal M}_{z}=p_{\varphi}+\frac{\hbar}{2}s_{3},$$ (4.92)

$$\begin{array}{l} {\cal M}=(-s_{1}\sin\varphi+s_{2}\cos\varphi... ...2}\ctg\vartheta\sin\varphi+s_{3})p_{\varphi}+\hbar, \end{array}$$ (4.93)

где, как обычно, $p_{r}, p_{\vartheta}, p_{\varphi}$ означают операторы

$$p_{r}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial r},\quad p_{\vartheta}=i\hb... ...}{\partial \vartheta},\quad p_{\varphi}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}$$ (4.94)

(впрочем, оператор $p_{r}$ в выражения для ${\cal M}_{z}$ и ${\cal M}$ не входит).

Произведем каноническое преобразование операторов и функций по формулам, аналогичным (7) и (8) $\S 6$ ч. $III$ кн. [12], а именно

$${\cal L}^{\prime}=S{\cal L}S^{+},\qquad \psi^{\prime}=S\psi,$$ (4.95)

где

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}+is_{3}\sin\frac{\varphi}{2},\quad S^{+}=\cos\frac{\varphi}{2}-is_{3}\sin\frac{\varphi}{2}.$$ (4.96)

После преобразования мы будем иметь

$${\cal M}^{\prime}_{z}=p_{\varphi},$$ (4.97)

$${\cal M}^{\prime}=-s_{1}\ctg\vartheta p_{\varphi}+s_{2}\left(p_{\vartheta}-\frac{i\hbar}{2}\ctg\vartheta\right)+s_{3}p_{\varphi}+\frac{\hbar}{2}.$$ (4.98)

Применим затем преобразование, аналогичное (21) $\S 6$ ч. $III$ кн. [10], а именно,

$${\cal M}^{\prime\prime}=T{\cal M}^{\prime}T^{+},\quad \psi^{\prime\prime}=T\psi^{\prime},$$ (4.99)

где

$$T=\cos\frac{\vartheta}{2}+is_{2}\sin\frac{\vartheta}{2},\quad T^{+}=\cos\frac{\vartheta}{2}-is_{2}\sin\frac{\vartheta}{2}.$$ (4.100)

Мы получим, как и в теории Паули,

$$\left. \begin{array}{lcr} {\cal M}^{\prime\prime}_{z}={\cal M}^{\... ...left(p_{\vartheta}-\frac{i\hbar}{2}\ctg\vartheta\right). \end{array} \right\}$$ (4.101)

Наконец, полагая

$${\cal M}^{*}=\sqrt{\sin\vartheta}{\cal M}^{\prime\prime}\frac{1}{\sqrt{\sin\vartheta}} ,\quad \psi^{*}=\sqrt{\sin\vartheta} \psi^{\prime\prime},$$ (4.102)

будем иметь

$${\cal M}^{*}=-\frac{s_{1}}{\sin\vartheta}p_{\varphi}+s_{2}p_{\vartheta},\quad {\cal M}^{*}_{z}=p_{\varphi}.$$ (4.103)

Согласно (4.93) и (4.97), матрицы канонического преобразования $S$ и $T$ содержат только операторы $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ , но не содержат $\rho_{a}, \rho_{b}, \rho_{c}$ . Поэтому вид этих последних операторов при преобразовании не меняется. В частности, мы имеем, согласно формуле (4.47) $\S 4$ гл.$I$ ,

$$\rho^{*}_{c}=\rho_{c}=\left\vert \begin{array}{cccc} 0& 0& 0& -1 0& 0& 1& 0 0& 1& 0& 0 -1& 0& 0& 0 \end{array} \right\vert.$$ (4.104)

После умножения на $\rho_{c}$ уравнение для собственных функций оператора ${\cal M}^{*}_{D}=\rho_{c}{\cal M}^{*}$ можно написать в виде

$${\cal M}^{*}\psi^{*}=k\hbar\rho_{c}\psi^{*}.$$ (4.105)

Соответствующая уравнению (4.102) система уравнений для четырех компонент функции $\psi^{*}$ будет иметь вид

$$\left. \begin{array}{lcr} -\frac{p_{\varphi}}{\sin\vartheta}\psi^... ...si^{*}_{3}+ip_{\vartheta}\psi^{*}_{3}=-k\hbar\psi^{*}_{1}. \end{array} \right\}$$ (4.106)

Если выразить операторы $p_{\varphi}$ и $p_{\vartheta}$ через производные и изменить знак в обеих частях некоторых из этих уравнений, мы можем написать их в виде двух одинаковых систем уравнений для двух функций каждая, а именно,

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{i}{\sin\vartheta}\frac{\partial\p... ...+\frac{\partial\psi^{*}_{1}}{\partial\vartheta}=k\psi_{3}, \end{array} \right\}$$ (4.107)

и

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{i}{\sin\vartheta}\frac{\partial\p... ...\frac{\partial\psi^{*}_{4}}{\partial\vartheta}=-k\psi_{2}. \end{array} \right\}$$ (4.108)

Уравнение ([перейти]) отличается от (4.103) только знаком при $k$ .

Такие уравнения уже встречались в теории Паули при рассмотрении шаровых функций со спином (§3 ч. $III$ ). Мы их писали там в виде

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{i}{\sin\vartheta}\frac{\partial Z... ...{\partial\varphi}+\frac{\partial Y}{\partial\vartheta}=kZ. \end{array} \right\}$$ (4.109)

Решением наших уравнений (4.103) и ([перейти]) будут функции

$$\left. \begin{array}{lcr} \psi^{*}_{1}=f(r)Y(\vartheta, \varphi)... ...hi), [5pt] \psi^{*}_{4}=-g(r)Y(\vartheta, \varphi), \end{array} \right\}$$ (4.110)

где функции $f(r)$ и $g(r)$ уже от $\vartheta$ и $\varphi$ не зависят. Зависимость их от $r$ определяется уравнением для собственных функций оператора энергии (потенциалов).