4.  Матрицы Дирака

Как будет видно из дальнейшего, операторы $\alpha_{k}$ можно рассматривать как подстановки над четырьмя функциями $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \psi_{4}$ подобно тому, как матрицы Паули были подстановками над двумя функциями. Таким образом, объектом действия операторов $\alpha_{k}$ будет совокупность четырех функций, а самые операторы можно представить в виде матриц, составленных из коэффициентов подстановок.

Совокупность функций $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \psi_{4}$ мы часто будем обозначать одним символом $\psi$ , а подстановку

$$\left. \begin{array}{lcr} \psi^{\prime}_{1}&=&\alpha_{11}\psi_{1}... ...ha_{42}\psi_{2}+\alpha_{43}\psi_{3} +\alpha_{44}\psi_{4} \end{array} \right\}$$ (4.21)

будем писать сокращенно в виде

$$\psi^{\prime}=\alpha\psi,$$ (4.22)

где, следовательно, $\alpha$ есть матрица

$$\alpha=\left\Vert \begin{array}{cccc} \alpha_{11}& \alpha_{12}& \... ...} \alpha_{41}& \alpha_{42}& \alpha_{43}& \alpha_{44} \end{array} \right\Vert.$$ (4.23)

Выразим операторы $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ , удовлетворяющие соотношениям (3.20) $\S 3$ , через операторы, аналогичные матрицам, рассмотренным в главе, посвященной теории Паули.

Построим из матриц $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ шесть матриц: во-первых, три матрицы

$$\sigma_{x}=-i\alpha_{2}\alpha_{3},\quad \sigma_{y}=-i\alpha_{3}\alpha_{1},\quad \sigma_{z}= -i\alpha_{1}\alpha_{2}$$ (4.24)

и, во-вторых, три матрицы

$$\rho_{a}=-i\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3},\quad \rho_{b}=\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4},\quad \rho_{c}=\alpha_{4}.$$ (4.25)

Легко проверить, что матрицы $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ будут удовлетворять тем же соотношениям, как и матрицы Паули, а именно,

$$\left. \begin{array}{lcr} \sigma_{y}\sigma_{z}&=&-\sigma_{z}\sigm... ...sigma_{x}\sigma_{y}&=&-\sigma_{y}\sigma_{x}=i\sigma_{z}. \end{array} \right\}$$ (4.26)

Квадрат каждой из них будет равен единице:

$$\sigma^2_{x}=\sigma^2_{y}=\sigma^2_{z}=1.$$ (4.27)

Подобным же соотношениям будут удовлетворять и матрицы $\rho_{a}, \rho_{b}, \rho_{c}$ . Мы будем иметь

$$\left. \begin{array}{lcr} \rho_{b}\rho_{c}&=&-\rho_{c}\rho_{b}=i\... ...o_{b}, \rho_{a}\rho_{b}&=&-\rho_{b}\rho_{a}=i\rho_{c}, \end{array} \right\}$$ (4.28)

а также

$$\rho_{a}^2=\rho_{b}^2=\rho_{c}^2=1.$$ (4.29)

Произведения матриц $\rho$ на матрицы $\sigma$ будут равны

$$\left. \begin{array}{lcr} \rho_{a}\sigma_{x}&=&\sigma_{x}\rho_{a}... ...}, \rho_{a}\sigma_{z}&=&\sigma_{z}\rho_{a}=\alpha_{3}, \end{array} \right\}$$ (4.30)

далее,

$$\left. \begin{array}{lcr} \rho_{b}\sigma_{x}&=&\sigma_{x}\rho_{b}... ...b}\sigma_{z}&=&\sigma_{z}\rho_{b}=i\alpha_{3}\alpha_{4} \end{array} \right\}$$ (4.31)

и, наконец,

$$\left. \begin{array}{lcr} \rho_{c}\sigma_{x}&=&\sigma_{x}\rho_{c}... ...}&=&\sigma_{z}\rho_{c}=-i\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{4}. \end{array} \right\}$$ (4.32)

Таким образом, каждая из матриц $\rho$ коммутирует с каждой из матриц $\sigma$ , и мы можем в известном смысле сказать, что матрицы $\rho$ и $\sigma$ относятся к разным степеням свободы электрона.

Пользуясь выражениями для матриц $\alpha_{i}$ через $\rho$ и $\sigma$ , мы можем написать оператор потенциала (3.18) $\S 3$ в виде

$$H=c\rho_{a}(\sigma_{x}p_{x}+\sigma_{y}p_{y}+\sigma_{z}p_{z})+mc^2\rho_{c}.$$ (4.33)

Заметим, что к четырем матрицам $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},$ удовлетворяющим соотношениям (3.20) $\S 3$ , мы могли бы присоединить пятую, положив $\alpha_{5}=\rho_{b}$ ; эта матрица будет антикоммутировать с оператором потенциала (4.33).

Займемся теперь построением матриц с четырьмя строками и столбцами, обладающих формулированными выше общими свойствами. Для этого рассмотрим сперва три матрицы с двумя строками и столбцами, встречающимися в теории Паули. Обозначим их теперь через $\sigma^0_{1}, \sigma^0_{2}, \sigma^0_{3},$ мы будем иметь

$$\sigma^0_{1}=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 1 & 0 \end{array}... ...uad \sigma^0_{3}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 0 & -1 \end{array} \right).$$ (4.34)

Предположим, что подстановки

$$\sigma^0_{1}\left( \begin{array}{c} \xi \eta \end{array} \rig... ... \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \xi -\eta \end{array} \right)$$ (4.35)

производятся не над одной, а над двумя парами чисел $$\left( \begin{array}{c} \xi\\ \eta\\ \end{array}\right) \mb... ...eft( \begin{array}{c} \xi^{*}\\ \eta^{*}\\ \end{array}\right)$$ одновременно. Эти две пары чисел можно рассматривать как одну четверку чисел $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \psi_{4}$ , причем сопоставление чисел $\xi, \eta, \xi^{*}, \eta^{*}$ с числами $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \psi_{4}$ можно сделать различными способами.

Можнно положить, например,

$$\psi_{1}=\xi,\qquad \psi_{2}=\eta,\qquad \psi_{3}=\xi^{*},\qquad \psi_{4}=\eta^{*}$$ (4.36)

или же

$$\psi_{1}=\xi,\qquad \psi_{2}=\xi^{*},\qquad \psi_{3}=\eta,\qquad \psi_{4}=\eta^{*}$$ (4.37)

В первом случае матрицы, соответствующие нашим подстановкам, напишутся в виде

$$\sigma_{1}=\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 &... ... 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right\vert.$$ (4.38)

а во втором случае в виде

$$\rho_{1}=\left( \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 0 & 0 & ... ... 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right).$$ (4.39)

Очевидно, что подстановки $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3},$ взятые в отдельности, и подстановки $\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}$ в отдельности удовлетворяют тем же соотношениям, что и подстановки (3.15) над двумя функциями, а именно,

$$\left. \begin{array}{lcr} \sigma_{2}\sigma_{3}=-\sigma_{3}\sigma_... ...i\sigma_{3}, \sigma^2_{1}=\sigma^2_{2}=\sigma^2_{3}=1, \end{array} \right\}$$ (4.40)

$$\left. \begin{array}{lcr} \rho_{2}\rho_{3}=-\rho_{3}\rho_{2}=i\rh... ...rho_{1}=i\rho_{3}, \rho^2_{1}=\rho^2_{2}=\rho^2_{3}=1. \end{array} \right\}$$ (4.41)

С другой стороны, можно проверить, что каждая из подстановок $\sigma$ коммутирует с каждой из подстановок $\rho$ , так что

$$\sigma_{i}\rho_{k}=\rho_{k}\sigma_{i}\qquad (i, k=1, 2, 3).$$ (4.42)

Каждая из матриц $\rho$ и $\sigma$ , а также их произведения (4.42) имеют два двукратных собственных значения +1 и -1.

Три матрицы $\sigma_{i}$ , три матрицы $\rho_{i}$ и девять матриц $\sigma_{i}\rho_{k}$ образуют вместе с единичной матрицей систему 16 матриц, которую можно назвать полной в том смысле, что всякую матрицу с четырьмя строками и столбцами, т.е. с 16 элементами, можно выразить в виде линейной комбинации этих 16 матриц с численными коэффициентами.

В частности, мы можем выразить через $\rho_{i}$ и $\sigma_{i}$ матрицы, входящие в уравнение Дирака, и связанные с ними матрицы $\rho_{a}, \rho_{b}, \rho_{c}$ и $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ . это можно сделать различным образом, так что матрицы, имеюшие данный физический смысл, могут иметь различную математическую форму. В литературе чаще всего употребляется представление, введенное Дираком, который положил

$$\left. \begin{array}{lcr} \sigma_{x}=\sigma_{1},& \sigma_{y}=\sig... ...ho_{a}=\rho_{1},& \rho_{b}=\rho_{2},& \rho_{c}=\rho_{3}. \end{array} \right\}$$ (4.43)

Согласно формулам (3.16) и (2.11), соответствующие матрицы $\alpha_{k}$ , будут иметь вид

$$\alpha^{\prime}_{1}=\rho_{1}\sigma_{1},\quad \alpha^{\prime}_{2}=... ...\quad \alpha^{\prime}_{3}=\rho_{1}\sigma_{3},\quad \alpha^{\prime}_{4}=\rho_{3}$$ (4.44)

(мы снабдили эти матрицы штрихом, чтобы отличить их от тех, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем).

Более удобным в некоторых отношениях является следующий выбор матриц:

$$\left. \begin{array}{lcr} \sigma_{x}=\rho_{3}\sigma_{1},& \sigma_... ...ho_{b}=\rho_{1}\sigma_{2},& \rho_{c}=\rho_{2}\sigma_{2}. \end{array} \right\}$$ (4.45)

или в явной форме

$$\sigma_{x}=\left\vert \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 0 ... ... 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right\vert,$$ (4.46)

$$\rho_{a}=\left\vert \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 1 & ... ... -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & o & 0 -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right\vert.$$ (4.47)

Отсюда получаются для матриц $\alpha_{k}$ следующие значения:

$$\alpha_{1}=\sigma_{1},\quad \alpha_{2}=\rho_{3}\sigma_{2},\quad \alpha_{3}=\sigma_{3},\quad \alpha_{4}=\rho_{2}\sigma_{2}$$ (4.48)

и в явной форме

$$\alpha_{1}=\left\vert \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 &... ...0 i & 0 & 0 & 0 i & 0 & 0 & i 0 & 0 & -i & 0 \end{array} \right\vert,\;$$

$$\alpha_{3}=\left\vert \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 ... ... -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right\vert.$$ (4.49)