5.  Уравнение Дирака для свободного электрона

Мы можем теперь написать уравнение Дирака для свободного электрона в раскрытом виде. Если $H$ есть оператор (3.18) $\S 3$ , то волновое уравнение

$$H\psi=[c(\alpha_{1}p_{x}+\alpha_{2}p_{y}+\alpha_{3}p_{z})+mc^2\alpha_{4}]\psi= i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}$$ (5.50)

напишется в виде системы четырех дифференциальных уравнений

$$\left. \begin{array}{lcr} -i\hbar c\left(\frac{\partial\psi_{2}}{... ...-mc^2\psi_{1}=i\hbar\frac{\partial\psi_{1}}{\partial t}. \end{array} \right\}$$ (5.51)

Заметим, что удобнее исследовать уравнение Дирака, когда оно написано в символической форме (5.50), так что формулами вида (5.51), нам почти не придется пользоваться.

Мы рассмотрели два варианта выбора матриц. Первый из них, предложенный Дираком, соответствует формулам (4.43) $\S 4$ , а второй, предложенный нами, соответствует формулам (4.45) $\S 4$ .

Для некоторых целей удобно ввести такое представление матриц $\alpha_{k}$ , чтобы соответствующая система уравнений для четырехкомпонентной волновой функции свободного электрона имела вещественные коэффициенты. Для этого достаточно переставить в формулах (4.45) $\S 4$ матрицы $\rho_{2}$ и $\rho_{3}$ и изменить знак при матрице $\rho_{1}$ . Мы будем тогда иметь вместо (4.45) $\S 4$ :

$$\left. \begin{array}{lcr} \sigma^0_{x}=\rho_{2}\sigma_{1},& \sigm... ...{b}=-\rho_{1}\sigma_{2},& \rho^0_{c}=\rho_{3}\sigma_{2}. \end{array} \right\}$$ (5.52)

Чтобы отличать новые матрицы от прежних, мы снабдили их значком $^0$ . ^1.1 Все матрицы (5.52) имеют чисто мнимые элементы.

Связь между новыми матрицами и прежними осуществляется каноническим преобразованием с матрицей

$$T=\frac{1}{\sqrt{2}}(\rho_{2}+\rho_{3}),+$$ (5.53)

которая является самосопряженной и унитарной, так что

$$T^{-1}=T^{+}=T,\qquad T^2=1.$$ (5.54)

В самом деле, мы имеем

$$T\rho_{2}T=\rho_{3},\quad T\rho_{3}T=\rho_{2},\quad T\rho_{1}T=-\rho_{1}$$ (5.55)

Новые матрицы $\alpha_{k}$ (которые мы обозначим теперь через $\alpha^0_{k}$ ) будут связаны с прежними матрицами каноническим преобразованием

$$\alpha^0_{k}=T^{+}\alpha_{k}T.$$ (5.56)

Они будут равны

$$\alpha^0_{1}=\sigma_{1},\quad \alpha^0_{2}=\rho_{2}\sigma_{2},\quad \alpha^0_{3}=\sigma_{3},\quad \alpha^0_{4}=\rho_{3}\sigma_{2}.$$ (5.57)

Как показывает сравнение с (4.29) $\S 4$ , они отличаются от прежних перестановкой $\alpha_{2}$ с $\alpha_{4}$ . Элементы первых трех матриц $\alpha^0_{k}$ будут вещественными, а элементы $\alpha^0_{4}$ -чисто мнимыми.

Систему четырех дифференциальных уравнений (5.51) для волновой функции свободного электрона можно теперь написать в виде

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{\partial\psi^0_{2}}{\partial x}-\... ...al\psi^0_{4}}{\partial t}+ \frac{mc}{\hbar}\psi^0_{3}=0. \end{array} \right\}$$ (5.58)

В заключение напишем в явной форме связь между волновыми функциями $\psi^{\prime}_{k}$ , соответствующими выбору матриц $\alpha^{\prime}_{k}$ по Дираку (согласно (4.44) $\S 4$ ), с нашими волновыми функциями. Мы имеем соотношения

$$\left. \begin{array}{lcr} \psi^{\prime}_{1}=\frac{\psi_{1}-\psi_{... ...,& \psi^{\prime}_{4}=\frac{\psi_{2}-\psi_{3}}{\sqrt{2}}. \end{array} \right\}$$ (5.59)

Унитарная матрица $S$ , соответствующая преобразованию

$$\psi^{\prime}=S\psi$$ (5.60)

равна

$$S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\vert \begin{array}{cccc} 1& 0& 0& -1 ... ...\cdot\frac{1+i\sigma_{2}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1-i\rho_{3}\sigma_{2}}{\sqrt{2}}.$$ (5.61)

Что касается связи между функциями

$$\psi^0=T\psi,$$ (5.62)

то она дается формулами

$$\left. \begin{array}{lcr} \psi^0_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{1}-... ...quad \psi^0_{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\psi_{4}+i\psi_{2}). \end{array} \right\}$$ (5.63)

Ввиду того, что $T^2=1$ , такие же формулы дают выражения для $\psi_{i}$ через $\psi^0_{i}$ . Мы имеем

$$\left. \begin{array}{lcr} \psi_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\psi^0_{1}-... ...ad \psi_{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-\psi^0_{4}+i\psi^0_{2}). \end{array} \right\}$$ (5.64)