3.  Вывод волнового уравнения

Нам нужно найти квантовый оператор, соответствующий Гамильтоновой функции (2.11) $\S 2$ . Мы начнем с простейшего случая свободного электрона, когда электромагнитое поле отсутствует и скалярный и векторный потенциалы равны нулю. В этом случае

$$H_{\text{класс}}=mc^2\sqrt{1+\frac{1}{m^2c^2}\left(p_{x}^2+p^2_{y}+p^2_{z}\right)}.$$ (3.12)

Из-за характерной для теории относительности симметрии уравнений относительно координат и времени, раз волновое уравнение содержит линейно оператор дифференцирования по времени, то оно должно содержать также линейно операторы дифференцирования по координатам. Следовательно, квантовый оператор потенциала должен быть линейным относительно операторов

$$p_{x}=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x},\quad p_{y}=-i\hbar\frac{\partial }{\partial y},\quad p_{z}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial z},$$

т.е. он должен быть вида

$$H=\beta_{1}p_{x}+\beta_{2}p_{y}+\beta_{3}p_{z}+\beta_{4},$$ (3.13)

где $\beta_{k}$ -неизвестные пока операторы, не содержащие $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ . Но эти операторы не должны содержать также и координат $x, y, z,$ ибо для свободного электрона все точки пространства равноправны. Следовательно, они должны действовать над какими-то новыми переменными, от которых волновая функция теории Шредингера не зависела. Смысл этих новых переменных мы установим ниже. Мы увидим, что они представляют обобщение операторов, вводимых в теории Паули.

Чтобы установить свойства операторов $\beta_{k}$ , мы потребуем, чтобы между квадратом потенциала и квадратом количества движения свободного электрона в квантовой механике имело место то же соотношение, как и в классической, а именно,

$$H^2=m^2c^4+c^2\left(p^2_{x}+p^2_{y}+p^2_{z}\right).$$ (3.14)

Вычислим квадрат оператора (3.14), имея в виду, что $\beta_{k}$ не содержит координат и, следовательно, коммутируют с $p_{x}, p_{y}, p_{z},$ но могут не коммутировать между собой. Мы получим

$$\begin{array}{l} H^2=\beta_{4}^2+\beta_{1}^2p^2_{x}+\beta^2_{... ...+(\beta_{1}\beta_{2}+\beta_{2}\beta_{1})p_{x}p_{y}. \end{array}$$ (3.15)

Это выражение совпадает с предыдущим, если будут выполнены условия

$$\beta^2_{4}=m^2c^4,\;\beta^2_{1}=\beta^2_{2}=\beta^2_{3}=c^2,\;\beta_{i}\beta_{k}+ \beta_{k}\beta_{i}=0\qquad (i\ne k).$$ (3.16)

Если мы при помощи соотношений

$$\beta_{1}=c \alpha_{1},\;\beta_{2}=c \alpha_{2},\;\beta_{3}=c \alpha_{3},\;\beta_{4}=mc^2\alpha_{4}$$ (3.17)

введем вместо $\beta_{k}$ пропорциональные им операторы $\alpha_{k}$ , то оператор потенциала $H$ напишется в виде

$$H=c(\alpha_{1}p_{x}+\alpha_{2}p_{y}+\alpha_{3}p_{z})+mc^2\alpha_{4},$$ (3.18)

а новые операторы $\alpha_{k}$ должны будут удовлетворять условиям

$$\alpha^2_{k}=1,\; \alpha_{i}\alpha_{k}+\alpha_{k}\alpha_{i}=0\qquad (i\ne k),$$ (3.19)

которые можно записать короче

$$\alpha_{i}\alpha_{k}+\alpha_{k}\alpha_{i}=2\delta_{ik}\qquad (i,k=1,2,3,4).$$ (3.20)