2.  Классические уравнения движения

Припомним, какой вид имеют классические уравнения движения теории относительности и соответствующие им Лагранжева и Гамильтонова функции.

В механике теории относительности количество движения $P_{x},P_{y},P_{z}$ связано со скоростью $\dot x,\dot y,\dot z$ соотношениями

$$P_{x}=\frac{m\dot x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\quad P_{y}=\frac{... ...\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\quad P_{z}=\frac{m\dot z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$$ (2.2)

где

$$v^2=\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2$$ (2.3)

и уравнения движения электрона с массой $m$ и зарядом $-e$ в электромагнитном поле имеют вид

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{dP_{x}}{dt}&=&-\frac{e}{c}(\dot y... ...&-\frac{e}{c}(\dot x H_{y}-\dot y H_{x})-e{\cal E}_{z}, \end{array} \right\}$$ (2.4)

Из них легко выводится уравнение

$$\frac{dT}{dt}=-e(\dot x{\cal E}_{x}+\dot y{\cal E}_{y}+\dot z{\cal E}_{z}),$$ (2.5)

где $T$ есть кинетический потенциал электрона

$$T=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$ (2.6)

Эти уравнения могут быть получены из функции Лагранжа

$${\cal L}=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\frac{e}{c}(\dot x{\cal E}_{x}+\dot y{\cal E}_{y}+\dot z{\cal E}_{z})+e\Phi,$$ (2.7)

где $\Phi$ -скалярный и ${\bf A}=(A_{x},A_{y},A_{z})$ -векторный потенциал. Обобщенный " момент ", сопряженный с координатой $x$ , равен

$$p_{x}=\frac{d{\cal L}}{d\dot x}=\frac{m\dot x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{e}{c}A_{x}=P_{x}-\frac{e}{c}A_{x}$$ (2.8)

и аналогично для других координат, таким образом, " моменты " $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ не совпадают с составляющими количества движения $P_{x},P_{y},P_{z},$ а связаны с ними, как и в нерелятивистском случае, соотношениями

$$P_{x}=p_{x}+\frac{e}{c}A_{x},\quad P_{y}=p_{y}+\frac{e}{c}A_{y},\quad P_{z}=p_{z}+\frac{e}{c}A_{z}$$ (2.9)

(см. формулу (16) $\S 5$ ч. $III$ ). Потенциал электрона равен

$$E=\dot x p_{x}+\dot y p_{y}+\dot z p_{z}-{\cal L}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-e\Phi.$$ (2.10)

Выражая ее через обобщенные моменты, получим классическую функцию Гамильтона

$$H_{\text{класс}}=mc^2\sqrt{1+\frac{1}{m^2c^2}\left({\bf p}+\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2}-e\Phi.$$ (2.11)