6.  Преобразование Лоренца

Займемся теперь доказательством инвариантности волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца и исследованием геометрических свойств функций $\psi_{1}, \psi_{2}, \psi_{3}, \psi_{4}$ .

Положим

$$x=x_{1},\quad y=x_{2},\quad z=x_{3},\quad ct=x_{0}$$ (6.65)

и введем четыре числа

$$e_{0}=1,\quad e_{1}=e_{2}=e_{3}=-1$$ (6.66)

так, чтобы можно было написать квадрат четырехмерного расстояния (интервала) в виде

$$\pm ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=\sum_{k=0}^3 e_{k}dx^2_{k}.$$ (6.67)

Напишем преобразование Лоренца в виде

$$x^{\prime}_{i}=\sum_{k=0}^3 e_{k}a_{ik}x_{k},$$ (6.68)

где $a_{ik}$ -вещественные числа, удовлетворяющие условиям

$$\sum_{i=0}^3 e_{i}a_{ik}a_{il}=e_{k}\delta_{kl}$$ (6.69)

которые вытекают из того, что преобразование (6.68) должнооставлять $ds^2$ инвариантным. В силу этих условий решение уравнения (6.68) относитульно $x_{i}$ дает

$$x_{i}=\sum_{k=0}^3 e_{k}a_{kl}x^{\prime}_{k},$$ (6.70)

а отсюда в свою очередь вытекают уравнения

$$\sum_{i=0}^3 e_{i}a_{ki}a_{li}=e_{k}\delta_{kl}.$$ (6.71)

Умножая волновое уравнение (4.49) $\S 5$ на $\frac{i}{\hbar c}$ , напишем его в виде

$$\sum_{k=1}^3 a_{k}\frac{\partial\psi}{\partial x_{k}}+\frac{imc}{\hbar}a_{4}\psi+\frac{\partial\psi}{\partial x_{0}}=0,$$ (6.72)

или

$$\sum_{k=0}^3 a_{k}\frac{\partial\psi}{\partial x_{k}}+\frac{imc}{\hbar}a_{4}\psi=0,$$ (6.73)

если мы будем разуметь под $a_{0}$ единичную матрицу.

Сделаем теперь замену переменных (6.70). Имеем

$$\frac{\partial\psi}{\partial x_{k}}=\sum_{i=0}^3 e_{k}a_{ik}\frac{\partial\psi} {\partial x^{\prime}_{i}}.$$

Поэтому

$$\sum_{i=0}^3\sum_{k=0}^3 e_{k}a_{ik}a_{k}\frac{\partial\psi}{\partial x^{\prime}_{i}}+ \frac{imc}{\hbar}a_{4}\psi=0$$ (6.74)

Если нам удастся найти такую (вообще говоря, не унитарную) матрицу $S$ ,чтобы было

$$a^{\prime}_{l}=S^{+}a_{l}S=\sum_{k=0}^3 e_{k}a_{ik}a_{k}\qquad (l=0, 1, 2, 3),$$ (6.75)

$$S^{+}a_{4}S=a_{4},$$ (6.76)

то уравнение (6.74) можно будет написать в виде

$$\sum_{l=0}^3 S^{+}a_{l}S\frac{\partial\psi}{\partial x^{\prime}_{i}}+ \frac{imc}{\hbar}S^{+}a_{4}S\psi=0,$$ (6.77)

а затем, полагая

$$\psi^{\prime}=S\psi$$ (6.78)

и умножая (6.77) слева на $(S^{+})^{-1}$ (т.е. производя над четырьмя уравнениями (6.77) подстановку, обратную $S^{+}$ ), мы получим

$$\sum_{k=0}^3 a_{k}\frac{\partial\psi^{\prime}}{\partial x^{\prime}_{k}}+ \frac{imc}{\hbar}a_{4}\psi^{\prime}=0,$$ (6.79)

т.е. уравнение того же вида, как исходное (6.73), с прежними матрицами $a_{k}$ , но с новыми независимыми переменными $x^{\prime}_{0},x^{\prime}_{1},x^{\prime}_{2},x^{\prime}_{3}$ и с новыми функциями $\psi^{\prime}_{1},\psi^{\prime}_{2},\psi^{\prime}_{3},\psi^{\prime}_{4}$ . Таким образом, будет доказано, что если сопровождать преобразование Лоренца подстановкой (6.78) над функциями $\psi$ , то волновое уравнение сохранит свой вид. Другими словами, будет доказана инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца.