7.  Вид матрицы $S$ для пространственного поворота осей и для преобразования Лоренца

Покажем, что матрица $S$ c нужными свойствами действительно существует и, при нашем выборе матриц $a_{k}$ , имеет вид

$$S=\left( \begin{array}{cccc} \alpha& \beta& 0& 0 \gamma& \delta... ...{\alpha}& \bar{\beta} 0& 0& \bar{\gamma}& \bar{\delta} \end{array} \right).$$ (7.80)

где $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ -четыре комплексных параметра, связанных соотношением

$$\alpha\delta-\beta\gamma=1$$ (7.81)

и называемых обобщенными параметрами Кэйлей-Клейна (Cayley-Klein). Сопряженная (адъюнгированная) матрица $S^{+}$ будет иметь вид

$$S^{+}=\left( \begin{array}{cccc} \bar{\alpha}& \bar{\gamma}& 0& 0... ...elta}& 0& 0 0& 0& \alpha& \gamma 0& 0& \beta& \delta \end{array} \right).$$ (7.82)

Прежде всего легко проверить непосредственным вычислением, произведя последовательно три подстановки: сперва $S$ , затем $\alpha_{4}$ и, наконец, $S^{+}$ что уравнение (6.76) $\S 6$ выполняется тождественно в силу соотношений (7.81). Заметим, что, кроме того, выполняется равенство

$$S^{+}a_{5}S=a_{5}.$$ (7.83)

Чтобы убедиться, что для любого преобразования Лоренца можно выбрать параметры $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ так, чтобы выполнялись и уравнения (6.75) $\S 6$ , воспользуемся тем, что как преобразования Лоренца, так и подстановки $S$ образуют группу, т.е. что несколько последовательных преобразований (подстановок) могут быть заменены одним преобразованием того же типа. Самое общее преобразование Лоренца может быть получено последовательным применением преобразований частного вида, например, поворотом координатной системы вокруг осей $x,y,z$ и преобразования

$$z^{\prime}=\frac{z-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\quad t^{\prime}=\frac{t-\frac{v}{c^{2}}z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$ (7.84)

Если мы для каждого из этих частных преобразований найдем соответствующую подстановку $S$ , то подстановка $S$ для общего случая получится последовательным применением этих частных подстановок.

Рассмотрим сперва вращение вокруг оси $z$ , так как для этого случая матрица $S$ имеет наиболее простой вид. Формулы для поворота осей напишутся

$$\left. \begin{array}{lcr} x^{\prime}_{1}=x_{1}\cos\varphi-x_{2}\s... ...\varphi, x^{\prime}_{3}=x_{3}, x^{\prime}_{0}=x_{0}. \end{array} \right\}$$ (7.85)

Покажем, что этому повороту соответствуют параметры

$$\alpha=e^{-i\frac{\varphi}{2}},\;\beta=0,\;\gamma=0,\;\delta=e^{i\frac{\varphi}{2}},$$ (7.86)

так что матрица $S$ будет

$$S=\left\vert \begin{array}{cccc} e^{-i\frac{\varphi}{2}}& 0& 0& 0... ...c{\varphi}{2}}& 0 0& 0& 0& e^{-i\frac{\varphi}{2}} \end{array} \right\vert.$$ (7.87)

Ее можно написать в виде

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\rho_{3}\sigma_{3},$$ (7.88)

или, на основании (4.25) $\S 4$ ,

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\sigma_{z}.$$ (7.89)

Мы имеем

$$\begin{array}{l} S^{+}\alpha_{1}S=S^{+}\rho_{a}\sigma_{x}S=\... ...o_{a}(\sigma_{x}\cos\varphi-\sigma_{y}\sin\varphi), \end{array}$$

так что

$$\alpha^{\prime}_{1}=S^{+}\alpha_{1}S=\alpha_{1}\cos\varphi-\alpha_{2}\sin\varphi.$$ (7.90)

Аналогично доказываются равенства

$$\left. \begin{array}{lcr} \alpha^{\prime}_{2}=S^{+}\alpha_{2}S=\a... ..._{3}, \alpha^{\prime}_{0}=S^{+}\alpha_{0}S=\alpha_{0}. \end{array} \right\}$$ (7.91)

Таким образом, преобразованные матрицы $\alpha^{\prime}_{k}$ выражаются через первоначальные $\alpha_{k}$ так же, как преобразованные координаты $x^{\prime}_{k}$ через первоначальные $x_{k}$ , т.е. другими словами, выполняются соотношения (6.75) $\S 6$ .

Рассмотрим теперь поворот вокруг оси $x=x_{1}$ :

$$\left. \begin{array}{lcr} x^{\prime}_{1}=x_{1}, x^{\prime}_{2}=... ...x_{2}\sin\varphi+x_{3}\cos\varphi, x^{\prime}_{0}=x_{0}. \end{array} \right\}$$ (7.92)

Здесь

$$\alpha=\cos\frac{\varphi}{2},\;\beta=-i\sin\frac{\varphi}{2},\;\gamma=-i\sin\frac{\varphi}{2},\;\delta=\cos\frac{\varphi}{2}$$ (7.93)

и матрица $S$ будет иметь вид

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\rho_{3}\sigma_{1},$$ (7.94)

или

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\sigma_{x}.$$ (7.95)

Соотношения (6.75) $\S 6$ доказываются аналогично предыдущему случаю.

Наконец, для поворота вокруг оси $y=x_{2}$ :

$$\left. \begin{array}{lcr} x^{\prime}_{1}=x_{1}\cos\varphi+x_{3}\s... ...x_{1}\sin\varphi+x_{3}\cos\varphi, x^{\prime}_{0}=x_{0}, \end{array} \right\}$$ (7.96)

значения параметров будут

$$\alpha=\cos\frac{\varphi}{2},\;\beta=-\sin\frac{\varphi}{2},\;\gamma=\sin\frac{\varphi}{2},\;\delta=\cos\frac{\varphi}{2}$$ (7.97)

и матрица $S$ , составленная при помощи этих параметров, будет равна

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\sigma_{2},$$ (7.98)

или

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\sigma_{y}.$$ (7.99)

Во всех трех случаях повороту вокруг оси $x_{k}$ на угол $\varphi$ в положительном направлении соответствует унитарная матрица

$$S=\cos\frac{\varphi}{2}-i\sin\frac{\varphi}{2}\sigma_{x_{k}},$$ (7.100)

причем этот результат не зависит от выбора матриц $\alpha_{k}$ . Обобщая это, мы можем утверждать, что пространственному повороту на угол $\omega$ вокруг оси с направляющими косинусами $l, m, n$ соответствует матрица

$$S=\cos\frac{\omega}{2}-i\sin\frac{\omega}{2}(l\sigma_{x}+m\sigma_{y}+n\sigma_{z}).$$ (7.101)

Рассмотрим теперь собственное преобразование Лоренца (7.84), которое напишем в виде

$$\left. \begin{array}{lcr} x^{\prime}_{1}=x_{1},\qquad x^{\prime}_... ...\frac{x_{0}-\frac{v}{c}x_{3}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \end{array} \right\}$$ (7.102)

Положим

$$\frac{v}{c}=\tanh u,$$ (7.103)

так что

$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\cosh u,\quad \frac{\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\sinh u.$$ (7.104)

В этом случае парамктры будут

$$\alpha=e^{-\frac{u}{2}},\;\beta=0,\;\gamma=0,\;\delta=e^{\frac{u}{2}},$$ (7.105)

и матрица $S$ , которая здесь уже не будет унитарной, но при нашем выборе матриц $\alpha_{k}$ по-прежнему будет вида (7.80),напишется

$$S=\ch\frac{u}{2}-\sh\frac{u}{2}\sigma_{3},$$ (7.106)

или

$$S=\ch\frac{u}{2}-\sh\frac{u}{2}\alpha_{3}.$$ (7.107)

Легко проверить, что и теперь соотношения (6.75) $\S 6$ выполняются.

Для преобразования Лоренца, соответствующего движению со скоростью $v=c \th u$ вдоль оси $x_{k}$ , матрица $S$ будет

$$S=\ch\frac{u}{2}-\sh\frac{u}{2}\alpha_{k},$$ (7.108)

а для преобразования, соответствующего движению по направлению с косинусами $l, m, n$ , матрица $S$ напишется

$$S=\ch\frac{u}{2}-\sh\frac{u}{2}(l\alpha_{1}+m\alpha_{2}+n\alpha_{3}).$$ (7.109)

Таким образом, во всех случаях можно найти матрицу $S$ вида (7.80), удовлетворяющую условиям (6.75) $\S 6$ . Тем самым доказана инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца.

Заметим, что параметры Кэйлея-Клейна, а значит и матрица $S$ , определяются для данного поворота лишь с точностью до знака. В наших формулах знак матрицы $S$ выбран так, чтобы бесконечно малому повороту, или преобразованию Лоренца с бесконечно малой скоростью, соответствовала матрица, бесконечно мало отличающаяся от $S=+1$ .