8.  Вектор тока

Мы видели, что каждому преобразованию Лоренца соответствует определенное (с точностью до знака) преобразование функций $\psi_{1}$ , $\psi_{2}$ , $\psi_{3}$ , $\psi_{4}$ . Эти функции представляют, таким образом, своеобразную геометрическую величину, подобную вектору или тензору, которую можно назвать "тензором половинного ранга" или "полувектором". Название это оправдывается тем, что некоторые квадратичные комбинации $\psi$ преобразуются как четырехмерный вектор. В самом деле, положим

$$A_{k}=\bar{\psi}\alpha_{k}\psi\qquad (k=0, 1, 2, 3, 4, 5),$$ (8.110)

или подробнее (при нашем выборе $\alpha_{k}$ )

$$\left. \begin{array}{lcr} A_{0}=\bar{\psi_{1}}\psi_{1}+\bar{\psi_... ...psi_{3}-i\bar{\psi_{3}}\psi_{2}+i\bar{\psi_{4}}\psi_{1}, \end{array} \right\}$$ (8.111)

Формулы (6.75) $\S 6$ дают тогда

$$A^{\prime}_{l}=\bar{\psi^{\prime}}\alpha_{l}\psi^{\prime}=\bar{\p... ...alpha^{\prime}_{l}\psi=\sum_{k=0}^3 e_{k}\alpha_{kl}A_{k}\qquad (l=0, 1, 2, 3),$$ (8.112)

а эти равенства показывают, что $A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}$ преобразуются как составляющие четырехмерного вектора. Формулы же (6.76) $\S 6$ и (7.83) $\S 7$ дают

$$A^{\prime}_{4}=A_{4},\qquad A^{\prime}_{5}=A_{5},$$ (8.113)

а это значит, что величины $A_{4}$ и $A_{5}$ суть четырехмерные инварианты. Величины $A_{k}$ связаны соотношением

$$A^2_{1}+A^2_{2}+A^2_{3}+A^2_{4}+A^2_{5}=A^2_{0}.$$ (8.114)

Покажем, что если величины $A_{k}$ составлены из функций $\psi$ , удовлетворяющих волновому уравнению, то имеет место равенство

$$\frac{\partial A_{1}}{\partial x}+\frac{\partial A_{2}}{\partial ... ...rac{\partial A_{3}}{\partial z}+\frac{1}{c}\frac{\partial A_{0}}{\partial t}=0.$$ (8.115)

Для этого выпишем уравнение (6.72) $\S 6$ и сопряженное с ним

$$\sum_{k=0}^3 \alpha_{k}\frac{\partial\psi}{\partial x_{k}}+\frac{imc}{\hbar}\alpha_{4}\psi=0,$$ (8.116)

$$\sum_{k=0}^3 \frac{\partial\bar{\psi}}{\partial x_{k}}\alpha_{k}- i\frac{mc}{\hbar}\bar{\psi}\alpha_{4}=0.$$ (8.117)

Умножим первое из этих уравнений слева на $\bar{\psi}$ , а второе справа на $\psi$ и результаты сложим. Вторые члены в уравнениях сократятся, и мы получим

$$\sum_{k=0}^3 \frac{\partial}{\partial x_{k}}(\bar{\psi}\alpha_{k}\psi)=0,$$ (8.118)

т.е. уравнение (8.115).

Интегрируя (8.115) по некоторому объему $V$ , ограниченному поверхностью $\sigma$ , получим

$$\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_{V} A_{0}d\tau=-c\int[A_{1}\cos(n,x)+A_{2}\cos(n,y)+ A_{3}\cos(n,z)]d\tau.$$ (8.119)

Физическое значение $A_{0}$ есть плотность вероятности. Эта величина играет роль $\bar{\psi}\psi$ теории Шредингера. Из сравнения (8.115) и (8.119) с формулами (9) и (7) $\S 2$ гл. III ч.II см. [12] вытекает, что вектор $cA_{k}$ играет роль вектора ${\bf S}$ теории Шредингера и представляет аналог плотности потока электронов. Классической плотности электричества $\rho$ и вектору тока $\rho{\bf v}$ соответствуют, таким образом, квантовые аналоги

$$\rho\to-e\bar{\psi}\psi=-eA_{0},$$ (8.120)

$$\rho{\bf v_{k}}\to-eS_{k}=-ec\bar{\psi}\alpha_{k}\psi=-ecA_{k}\qquad (k=1, 2, 3).$$ (8.121)