9.  Уравнение Дирака при наличии поля.

Выведенное в предыдущих параграфах волновое уравнение для свободного электрона имело вид

$$H\psi-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=0,$$ (9.122)

где оператор энергии $H$ , был равен

$$H=c(\alpha_{1}p_{x}+\alpha_{2}p_{y}+\alpha_{3}p_{z})+mc^2\alpha_{4}.$$ (9.123)

Нам нужно обобщить это уравнение на случай наличия электромагнитного поля. Классическая Гамильтонова функция для поля (2.11) $\S 2$ получается из функции без поля, если к этой последней прибавить потенциал положения $-e\varphi$ и заменить $\ll$   моменты$\gg p_{x}, p_{y}, p_{z}$ составляюшими количества движения $P_{x},P_{y},P_{z}$ по формулам (2.9) $\S 2$ . Подобная замена уже производилась в теории Паули [12]. Попробуем сделать такую замену и в нашем релятивистском квантовом операторе (9.123) и положим

$$H=c(\alpha_{1}P_{x}+\alpha_{2}P_{y}+\alpha_{3}P_{z})+mc^2\alpha_{4}-e\varphi,$$ (9.124)

где

$$P_{x}=p_{x}+\frac{e}{c}A_{x},\qquad P_{y}=p_{y}+\frac{e}{c}A_{y},\qquad P_{z}=p_{z}+\frac{e}{c}A_{z},$$ (9.125)

и под $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ мы по-прежнему разумеем операторы

$$-i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\qquad -i\hbar\frac{\partial}{\partial y}, \qquad-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}.$$

Главным обоснованием такого перехода от уравнения без поля к уравнению для электрона в электромагнитном поле являются следующие соображения. Непосредственно наблюдаемыми физическими величинами являются электрическое и магнитное поля ${\cal E}$ и ${\cal H}$ . Потенциалы же являются вспомогательными математическими величинами, определяемыми лишь с точностью до преобразования

$${\bf A}^{\prime}={\bf A}+grad f,\qquad \varphi^{\prime}=\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t},$$ (9.126)

которое оставляет поле без изменения. Мы должны поэтому потребовать, чтобы все физические следствия, вытекающие из волнового уравнения, оставались без изменения при замене ${\bf A}$ и $\varphi$ на ${\bf A}^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$ . Это требование будет выполняться в том случае, если такой замене будет соответствовать унитарное преобразование операторов и волновых функций. Покажем, что последнее действительно будет иметь место, если суммарный оператор потенциала будет иметь вид (9.124).

Обозначим через $H^{\prime}$ оператор вида (9.124), в котором ${\bf A}$ и $\varphi$ заменены на ${\bf A}^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$ по формуле (9.126). На основании равенств вида

$$\left[-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+\frac{e}{c}\left({\cal A... ...\partial x}+\frac{e} {c}{\cal A}_{x}\right]e^{\frac{ie}{\hbar c}f}\psi^{\prime}$$ (9.127)

нетрудно показать, что если $\psi$ удовлетворяет уравнению (9.122), то функция

$$\psi^{\prime}=e^{-\frac{ief}{\hbar c}}\psi$$ (9.128)

будет решением уравнения

$$H^{\prime}\psi^{\prime}-i\hbar\frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t}=0.$$ (9.129)

Таким образом, прибавке градиента к вектор-потенциалу соответствует введение фазового множителя в волновую функцию, т.е. частный вид унитарного преобразования.

Очевидно, что волновое уравнение (9.122) с оператором суммарного потенциала (9.124) остается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, так как вектор-потенциал преобразуется по тому же закону, как градиент, а скалярный потенциал, как $-\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}$ . Кроме того, как нетрудно проверить, по-прежнему будет иметь равенство (8.115) $\S8$ .

Формальной проверкой нового волнового уравнения могут служить уравнения движения. Припоминая формулу (22) $\S 13$ гл.III ч. I [12], для полной производной некоторого оператора $L$ по времени

$$\frac{dL}{dt}=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}(HL-LH),$$ (9.130)

подставим в нее вместо $L$ последовательно $x,y,z,P_{x},P_{y},P_{z}$ и посмотрим, получатся ли у нас классические уравнения движения, подобно тому, как они получались из теории Шредингера. Полагая

$$L=x, y, z,$$

получаем

$$\dot{x}=\frac{dx}{dt}=c\alpha_{1},\qquad \dot{y}=\frac{dy}{dt}=c\alpha_{2},\qquad \dot{z}= \frac{dz}{dt}=c\alpha_{3}.$$ (9.131)

Таковы операторы для составляющих скорости электрона. Они не коммутируют между собой, и квадрат каждого из них равен $c^2$ , т.е. квадрату скорости света. Собственные значения каждого из них равны $\pm c$ . Таким образом, выходит, что каждая из составляющих скорости электрона может, будучи измеренной, принимать только значения $\pm c$ . Вопрос о том, имеет ли этот парадоксальный результат физический смысл, остается открытым. Автор работы [12] склонен видеть в нем недочет теории Дирака.

Положим теперь

$$L=P_{x}=p_{x}+\frac{e}{c}A_{x}$$

и вычислим $\frac{dP_{x}}{dt}$ . Для этого находим сперва

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{i}{\hbar}(P_{y}P_{z}-P_{z}P_{y})=... ...rtial A_{x}}{\partial y}\right)=\frac{e}{c}{\cal H}_{z}, \end{array} \right\}$$ (9.132)

На основании этого имеем

$$\begin{array}{l} \frac{dP_{x}}{dt}=\frac{e}{c}\frac{\partial... ...t)-e\alpha_{2}{\cal H}_{z}+e\alpha_{3}{\cal H}_{y}, \end{array}$$

или

$$\frac{dP_{x}}{dt}=-e(\alpha_{2}{\cal H}_{z}-\alpha_{3}{\cal H}_{y})-e{\cal E}_{x}.$$ (9.133)

Введем теперь операторы $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ по формуле (9.131) и присоединим к (9.133) уравнения для $\frac{dP_{y}}{dt}$ и $\frac{dP_{z}}{dt}$ . Мы получим

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{dP_{x}}{dt}=-\frac{e}{c}(\dot{y}{... ...l H}_{y}-\dot{y}{\cal H}_{x})-e{\cal E}_{z}=F_{z}, [5pt] \end{array} \right\}$$ (9.134)

Эти уравнения в точности совпадают с классическими уравнениями (2.4) $\S 2$ .