10.  Момент количества движения и вектор спина в теории Дирака

Рассмотрим теперь производные по времени от операторов $\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},$ представляющих обобщение операторов Паули. Для вычисления их удобно выразить по формулам (4.25) и (4.30) $\S 4$ матрицы $\alpha_{k}$ в операторе суммарного потенциала (9.124) $\S 9$ через $\rho$ и $\sigma$ и писать этот оператор в виде

$$H=c\rho_{a}(\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z})+mc^2\rho_{c}-e\Phi.$$ (10.135)

Помня, что операторы $\sigma$ коммутируют с операторами $\rho$ , находим по общей формуле (9.130) $\S 9$ для производной по времени

$$\frac{d\sigma_{x}}{dt}=\frac{ic\rho_{a}}{\hbar}[(\sigma_{y}\sigma... ...\sigma_{x}\sigma_{y})P_{y}+(\sigma_{z}\sigma_{x}- \sigma_{x}\sigma_{z})P_{z}].$$

Отсюда, на основании свойств (4.26) $\S 4$ матриц $\sigma$ , получаем

$$\frac{d\sigma_{x}}{dt}=\frac{2c}{\hbar}\rho_{a}(\sigma_{z}P_{y}-\sigma_{y}P_{z}).$$ (10.136)

Это и два аналогичных соотношения переписываем, на основании выражений (4.30) $\S 4$ для матриц $\alpha_{k}$ через $\rho$ и $\sigma$ и уравнений движения (9.131) $\S 9$ , в виде

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{\hbar}{2}\frac{d\sigma_{x}}{dt}=-... ...\frac{d\sigma_{z}}{dt}=-\dot{x}P_{y}+\dot{y}P_{x}. [5pt] \end{array} \right\}$$ (10.137)

В классической механике $P_{x},P_{y},P_{z}$ пропорциональны $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ и правые части уравнений (10.137) обратились бы нуль; левые части также были бы равны нулю, так как переходу к классической механике соответствует $\hbar=0$ . Заметим, что порядок множителей в правых частях (10.137) безразличен.

Правую часть первого уравнения (10.137) можно написать в виде

$$-\dot{y}P_{z}+\dot{z}P_{y}=-\frac{d}{dt}(yP_{z}-zP_{y})+y\frac{dP_{z}}{dt}-z\frac{dP_{y}}{dt}.$$

Если заменить здесь $\dot{P_{y}}$ и $\dot{P_{z}}$ их выражениями из уравнений движения (9.134) $\S 9$ , то уравнения (10.137) дадут

$$\frac{d}{dt}\left(yP_{z}-zP_{y}+\frac{\hbar}{2}\sigma_{x}\right)=yF_{z}-zF_{y}$$ (10.138)

и аналогично

$$\left. \begin{array}{lcr} \frac{d}{dt}\left(zP_{x}-xP_{z}+\frac{\... ...}-yP_{x}+\frac{\hbar}{2}\sigma_{z}\right)=xF_{y}-yF_{x}. \end{array} \right\}$$ (10.139)

Эти уравнения можно толковать как аналог закону классической механики, согласно которому производная по времени от момента количества движения равна моменту действующих сил. Момент количества движения имеет здесь вид

$$\left. \begin{array}{lcr} {\cal M}_{x}=yP_{z}-zP_{y}+\frac{\hbar}... ...t] {\cal M}_{z}=xP_{y}-yP_{x}+\frac{\hbar}{2}\sigma_{z}. \end{array} \right\}$$ (10.140)

Эти выражения представляют обобщение тех, которые были подробно изучены в разделах книги [10], посвященных теории Паули. Они переходят в выражения Паули, если положить вектор-потенциал равным нулю (так что $P_{x}=p_{x},P_{y}=p_{y},P_{z}=p_{z}$ ) и взять для операторов $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ представление в виде двухрядных матриц Паули.

Рассмотрим соответствующее обобщение оператора

$$P=\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z},$$ (10.141)

уже изучавшегося при изложении теории Паули [12]. Составим производную от оператора $P$ по времени, соответствующую оператору потенциала (10.135). Оператор потенциала можно выразить через $P$ следующим образом:

$$H=c\rho_{\alpha}P+mc^2\rho_{c}-e\Phi.$$ (10.142)

Отсюда видно, что единственным членом в $H$ , не коммутирующим с $P$ , будет член, содержащий скалярный потенциал. Поэтому

$$\begin{array}{l} \frac{dP}{dt}=\frac{\partial P}{\partial t}... ...}+\sigma_{z}\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right). \end{array}$$

или

$$\frac{dP}{dt}=-e(\sigma_{x}{\cal E}_{x}+\sigma_{y}{\cal E}_{y}+\sigma_{z}{\cal E}_{z}).$$ (10.143)

Таким образом, производная от $P$ по времени пропорциональна скалярному произведению электрического поля на вектор спина $\sigma$ , и, когда электрическое поле равно нулю, оператор $P$ будет интегралом уравнений движения. Заметим, что такое же уравнение двжения для оператора $P$ получилось бы и в теории Паули, где оператор входит в выражение для оператора потенциала не линейно, а квадратично.

В теории Паули встречался оператор

$${\cal M}=\sigma_{x}m_{x}+\sigma_{x}m_{x}+\sigma_{x}m_{x}+\hbar.$$ (10.144)

Там показано, что этот оператор антикоммутирует с оператором $P$ . Поэтому оператор ${\cal M}$ не будет интегралом уравнений движения теории Дирака даже для свободного электрона. Но в силу того, что матрица $\rho_{c}$ антикоммутирует с матрицей $\rho_{a}$ , входящей в первый член выражения (10.142) для $H$ и коммутирует с остальными членами, оператор ${\cal M}_{D}=\rho_{c}{\cal M}$ будет, при отсутствии поля, коммутировать со всеми членами оператора $H$ и тем самым будет интегралом уравнений движения.

При отсутствии поля оператор ${\cal M}$ может быть написан в виде

$${\cal M}=\sigma_{x}{\cal M}_{x}+\sigma_{y}{\cal M}_{y}+\sigma_{z}{\cal M}_{z}-\frac{\hbar}{2},$$ (10.145)

где ${\cal M}_{x},{\cal M}_{y},{\cal M}_{z}$ имеют значения (10.140). Будем разуметь под ${\cal M}$ выражение (10.145) также и в том случае, когда входящие в формулы (10.140) операторы количества движения $P_{x},P_{y},P_{z}$ содержат вектор-потенциал. Составим для этого (общего) случая выражение для полной производной по времени от оператора ${\cal M}_{D}=\rho_{c}{\cal M}$ . Мы будем иметь

$$\begin{array}{l} \frac{d{\cal M}_{D}}{dt}=\frac{d}{dt}(\rho_{... ... H}_{z})+\sigma_{z}(x{\cal H}_{y}-y{\cal H}_{x}]. \end{array}$$ (10.146)

Правая часть этого выражения обращается в нуль не только при отсутствии поля, но и в том важном для физических приложений случае, когда магнитное поле равно нулю, а электрическое поле направлено по радиус-вектору (центральное поле). Задача об электроне в поле с центральной симметрией будет рассмотрена в следующей главе.