11.  Кинетическая энергия электрона

Если мы в выражении (9.124) $\S 9$ или (10.135) $\S 10$ для оператора полного потенциала электрона отбросим член с потенциалом положения, мы получим оператор

$$H=c(\alpha_{1}P_{x}+\alpha_{2}P_{y}+\alpha_{3}P_{z})+mc^2\alpha_{4},$$ (11.147)

или

$$H=c\rho_{a}(\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z})+mc^2\rho_{c},$$ (11.148)

который можно толковать как оператор для кинетического потенциала, представляющий аналог классической величины

$$T=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=c\sqrt{m^2c^2+{\bf p}^2},$$ (11.149)

где $v$ -скорость, а ${\bf p}$ -количество движения электрона. Это толкование подтверждается, во-первых, аналогией между квантовым и классическим выражением для производной от $T$ по времени и, во-вторых тем, что собственные значения оператора $T$ по абсолютной величине больше $mc^2$ . Еще ближе будет аналогия, если мы будем сопоставлять классическим величинам не самый оператор $T$ , а усредненное значение Гейзенберговой матрицы для этого оператора, которое мы найдем в следующем параграфе.

Составим прежде всего выражение для производной от оператора $T$ по времени. Мы имеем по общей формуле

$$\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}(HT-TH),$$ (11.150)

причем

$$H=T-e\Phi.$$ (11.151)

Но $T$ зависит явно от времени только через посредство вектор-потенциала, входящего в операторы $P_{x},P_{y},P_{z}$ . С другой стороны, единственный член в $H$ , который не коммутирует с $T$ , есть $-e\Phi$ . Поэтому будет

$$\frac{dT}{dt}=e\left(\alpha_{1}\frac{\partial A_{x}}{\partial t}+... ...rac{\partial\Phi}{\partial y}+\alpha_{3}\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).$$ (11.152)

или

$$\frac{dT}{dt}=-ec(\alpha_{1}{\cal E}_{x}+\alpha_{2}{\cal E}_{y}+\alpha_{3}{\cal E}_{z}).$$ (11.153)

Но в $\S 9$ мы видели,что, согласно уравнению Дирака,

$$\dot{x}=c\alpha_{1},\qquad \dot{y}=c\alpha_{2},\qquad \dot{z}=c\alpha_{3}.$$ (11.154)

Поэтому формулу (11.153) можно написать в виде

$$\frac{dT}{dt}=-e(\dot{x}{\cal E}_{x}+\dot{y}{\cal E}_{y}+\dot{z}{\cal E}_{z}).$$ (11.155)

Формально это выражение в точности совпадает с уравнением (2.5) $\S 2$ .

Чтобы убедиться, что собственные значения оператора $T$ по абсолютной величине больше $mc^2$ , составим его квадрат. Мы получим, пользуясь формулой (11.148) и свойствами матриц $\rho$ ,

$$T^2=m^2c^4+c^2P^2.$$ (11.156)

Второй член представляет умноженный на $c^2$ квадрат самосопряженного оператора

$$P=\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z},$$ (11.157)

уже изученного в теории Паули (ч. $III$ [10]). Если мы обозначим его собственные значения (которые будут вещественны) через $P^{\prime}$ , то собственные значения $T^2$ будут

$${T^{ \prime}}^2=c^2\left(m^2c^2+{P^{ \prime}}^2\right),$$ (11.158)

так что

$$T^{ \prime}=\pm c\sqrt{m^2c^2+{P^{ \prime}}^2}$$ (11.159)

и, следовательно,

$$\vert T^{ \prime}\vert\ge mc^2.$$ (11.160)

В формуле(11.159) мы написали перед выражением с квадратным корнем двойной знак. Покажем, что в самом деле теория дает для кинетического потенциала собственные значения обоих знаков. Напишем уравнение для собственных функций оператора $T$ ;

$$T\psi=c\rho_{a}(\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z})\psi+mc^2\rho_{c}\psi=T^{ \prime}\psi.$$ (11.161)

Если функция $\psi$ есть решение этого уравнения для собственного значения $T^{ \prime}$ , то функция

$$\psi^*=\rho_{b}\psi$$ (11.162)

будет решением для собственного значения $-T^{ \prime}$ . В самом деле, в силу того,что матрица $\rho_{b}$ коммутирует с матрицами $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ и антикоммутирует с $\rho_{a}$ и $\rho_{c}$ , мы будем иметь

$$T\psi^*=T\rho_{b}\psi=-\rho_{b}T\psi=-\rho_{b}T^{ \prime}\psi=-T^{ \prime}\rho_{b}\psi,$$

т.е.

$$T\psi^*=-T^{ \prime}\psi^*,$$ (11.163)

что и доказывает наше утверждение.