3.  Интегралы уравнений движения в задаче со сферической симметрией

Рассмотрим задачу об описании состояния электрона в поле с центральной симметрией по теории Дирака. Та же задача разобрана в [10] по теории Шредингера в гл. $IV$ и $V$ ч. $II$ ; кроме того, в части $III$ , посвященной теории Паули, изучались свойства момента количества движения электрона, обладающего спином. Теперь мы познакомимся с теми отличиями, которые вносятся теорией Дирака; эта теория объясняет наличие дублетов и дает полную картину расщепления уровней энергии в магнитном поле.

Подобно тому как это делается в классическрй механике, удобно сперва рассматривать задачу в прямоугольных декартовых координатах, а затем уже переходить к сферическим.

В прямоугольных координатах оператор энергии для нашего случая имеет вид

$$H=c\rho_{a}(\sigma_{x}p_{x}+\sigma_{y}p_{y}+\sigma_{z}p_{z})+mc^2\rho_{c}+U(r),$$ (3.78)

или

$$H=c\rho_{a}P+mc^2\rho_{c}+U(r),$$ (3.79)

где

$$P=\sigma_{x}p_{x}+\sigma_{y}p_{y}+\sigma_{z}p_{z},$$ (3.80)

есть оператор, введенный нами при рассмотрении волнового уравнения Паули [формула (3.77) $\S 5$ ч. $III$ ]. Различие состоит только в том, что в теории Дирака операторы для составляющих спина $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ представлены четырехрядными матрицами, а в теории Паули-двухрядными.

В теории Паули были введены операторы

$$\left. \begin{array}{lcr} {\cal M}_{x}=m_{x}+\frac{1}{2}\hbar\sig... ..., [10pt] {\cal M}_{z}=m_{z}+\frac{1}{2}\hbar\sigma_{z} \end{array} \right\}$$ (3.81)

для составляющих полного (т.е. орбитального плюс спинового) момента количества движения. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям

$$\left. \begin{array}{lcr} {\cal M}_{y}{\cal M}_{z}-{\cal M}_{z}{\... ...\cal M}_{y}-{\cal M}_{y}{\cal M}_{x}=i\hbar{\cal M}_{z}, \end{array} \right\}$$ (3.82)

а составленный из них оператор

$${\cal M}=\sigma_{x}{\cal M}_{x}+\sigma_{y}{\cal M}_{y}+\sigma_{z}{\cal M}_{z}-\frac{1}{2}\hbar,$$ (3.83)

который можно представить в виде

$${\cal M}=\sigma_{x}m_{x}+\sigma_{y}m_{y}+\sigma_{z}m_{z}+\hbar,$$ (3.84)

коммутирует с каждым из операторов ${\cal M}_{x},\: {\cal M}_{y},\: {\cal M}_{z}$ . Кроме того, как показано в $\S 5$ , ч. $III$ , оператор ${\cal M}$ антикоммутирует с оператором $P$ , определяемым формулой (3.77):

$${\cal M}P+P{\cal M}=0.$$ (3.85)

В оператор энергии (3.76) теории Дирака входит оператор $P$ , умноженный на матрицу $\rho_{a}$ , и, кроме того, входят два члена, коммутирующие с $\rho_{c}$ . Так как матрицы $\rho_{a}$ и $\rho_{c}$ антикоммутируют, то отсюда непосредственно следует, что оператор

$${\cal M}_{D}=\rho_{c}{\cal M}={\cal M}\rho_{c}$$ (3.86)

будет коммутировать с $\rho_{a}P$ , а тем самым и со всеми членами оператора энергии $H$ , так что мы имеем

$$H{\cal M}_{D}-{\cal M}_{D}H=0,$$ (3.87)

а значит и

$$\frac{d}{dt}({\cal M}_{D})=0.$$ (3.88)

Таким образом, для поля со сферической симметрией величина, соответствующа оператору ${\cal M}_{D}$ , будет постоянной. Для произвольного поля производная по времени от этой величины была вычислена нами в $\S 10$ гл. $I$ [формула (10.146) $\S 10$ ].

Мы убедились, что в задаче со сферической симметрией три оператора: $H$ , ${\cal M}_{D}=\rho_{c}{\cal M}$ и ${\cal M}_{z}$ коммутируют между собой, поэтому мы можем рассматривать совокупную систему уравнений

$$\left. \begin{array}{lcr} H\psi={\cal M}\psi, [5pt] {\cal M}_{D... ...t] {\cal M}_{z}\psi=\left(m+\frac{1}{2}\right)\hbar\psi. \end{array} \right\}$$ (3.89)

Последние два уравнения тесно связаны с уравнениями для шаровых функций со спином, которые изучались в части $III$ книги [10].

Мы обозначили здесь целое число, пропорциональное собственному значению оператора ${\cal M}_{D}$ , той же буквой $k$ как целое число, пропорциональное собственному значению оператора ${\cal M}$ теории Паули (формула (22) $\S 1$ ч. $III$ в [12]). Это не может вызвать недоразумений, поскольку число $k$ принимает в обоих случаях одни и те же значения и физический смысл операторов ${\cal M}$ и ${\cal M}_{D}$ в соответствующих теориях аналогичен.