2.  Электрон в однородном магнитном поле

Влияние однородного магнитного поля на уровни потенциалов электрона было рассмотрено в нерелятивистском приближении в конце части $III$ , посвященной теории Паули [12]. Здесь мы рассмотрим более простуюз задачу, предположив, что никакие силы, кроме однородного магнитного поля, на электрон не действуют, но будем решать ее на основе теории Дирака уже без дальнейших пренебрежений.

Положим, поле направлено по оси $z$ и по абсолютной величине равно $\vert{\cal H}\vert$ . Вектор-потенциал мы можем положить равным

$$A_{x}=-\frac{1}{2}\vert{\cal H}\vert y,\qquad A_{y}=\frac{1}{2}\vert{\cal H}\vert x,\qquad A_{z}=0,$$ (2.35)

что соответствует в цилиндрических (полярных) координатах

$$x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi$$ (2.36)

значениям

$$A_{\varphi}=\frac{1}{2}\vert{\cal H}\vert\rho^2,\qquad A_{\rho}=0,\qquad A_{z}=0.$$ (2.37)

Задачу нашу мы сформулируем в декартовых координатах и перейдем к цилиндрическим (полярным) только в конце вычислений.

Оператор потенциала будет иметь вид

$$H=c\rho_{a}(\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z})+mc^2\rho_{c},$$ (2.38)

где

$$P_{x}=p_{x}-\frac{e}{2c}\vert{\cal H}\vert y,\quad P_{y}=p_{y}-\frac{e}{2c}\vert{\cal H}\vert x,\quad P_{z}=p_{z}.$$ (2.39)

Здесь, как и в случае свободного электрона, интегралом уравнений движения является оператор

$$P=\sigma_{x}P_{x}+\sigma_{y}P_{y}+\sigma_{z}P_{z},$$ (2.40)

который входит в выражение для оператора $H$ . Другим интегралом будет оператор $p_{z}$ , который коммутирует с $P$ .

Мы можем поэтому рассматривать совокупную систему уравнений

$$H\psi=W\psi,$$ (2.44)

$$P\psi=P^{ \prime}\psi,$$ (2.45)

$$p_{z}\psi=p^{ \prime}_{z}\psi.$$ (2.46)

Как и в случае свободного электрона, каждому собственному значению оператора $P$ будут соответствовать два значения $W$ , а именно,

$$W=\pm\sqrt{m^2c^4+c^2P^{ \prime^2}}.$$ (2.47)

Задача приводится к нахождению собственных функций оператора $P$ , т.е. к решению уравнения (2.42). При нашем выборе матриц первые два уравнения (2.42) могут быть написаны в виде

$$(\sigma_{1}P_{x}+\sigma_{2}P_{y}+\sigma_{3}P_{z})\psi=P^{ \prime}\psi,$$ (2.48)

где $\sigma_{k}$ -двухрядные матрицы Паули. Найдя $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ из этих уравнений, мы можем получить затем $\psi_{3}$ и $\psi_{4}$ из уравнения (1.16) $\S 1$ .

Применяя к (2.45) оператор $P$ еще раз и пользуясь перестановочными соотношениями между операторами $P_{x},P_{y},P_{z}$ (приведенными в [10] в $\S 5$ ч. $III$ и в $\S 9$ гл. $I$ ч. $V$ ), получим

$$\left(P^2_{x}+P^2_{y}+P^2_{z}+\frac{\hbar e}{c}\sigma_{3}\vert{\cal H}\vert\right)\psi=P^{ \prime^2}\psi.$$ (2.49)

Если мы разделим это уравнение на $2m$ , то получим в левой части оператор, входящий в оператор энергии Паули (19) $\S 5$ ч. $III$ [10] и совпадающий с ним, если электрическое поле равно нулю.

В уравнение (2.46) входит уже тольо одна матрица $\sigma_{3}$ , которая притом будет диагональной. Поэтому уравнение (2.46) распадается на два, причем каждое из них будет содержать только одну функцию $\psi$ . Имея в виду (2.38) и (2.43), мы можем написать их в виде

$$\begin{array}{l} \left[p^2_{x}+p^2_{y}+\frac{e\vert{\cal H}\v... ...uad {}=(P^{ \prime^2}-p^{ \prime^2}_{z})\psi_{1}, \end{array}$$ (2.50)

$$\begin{array}{l} \left[p^2_{x}+p^2_{y}+\frac{\bar e\vert{\cal... ...uad {}=(P^{ \prime^2}-p^{ \prime^2}_{z})\psi_{2}, \end{array}$$ (2.51)

Эти уравнения отличаются друг от друга только знаком у члена, содержащего $\hbar$ . Выразим в них операторы $p_{x}$ и $p_{y}$ через производные и положим для краткости

$$\frac{e\vert{\cal H}\vert}{2\hbar c}=b,\qquad \frac{1}{4\hbar^2b}(P^{ \prime^2}-p^{ \prime^2}_{z})=l,$$ (2.52)

Мы получим

$$-\frac{\partial^2\psi_{1}}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\psi_{1}... ...rac{\partial\psi_{1}}{\partial x}\right)+b^2(x^2+y^2)\psi_{1}=2b(2l-1)\psi_{1},$$ (2.53)

$$-\frac{\partial^2\psi_{2}}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\psi_{2}... ...rac{\partial\psi_{2}}{\partial x}\right)+b^2(x^2+y^2)\psi_{2}=2b(2l+1)\psi_{2}.$$ (2.54)

В полярных координатах (2.36) эти уравнения принимают вид

$$\frac{\partial^2\psi_{1}}{\partial\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\pa... ...b\frac{\partial\psi_{1}}{\partial\varphi}-b^2\rho^2\psi_{1}+2b(2l-1)\psi_{1}=0,$$ (2.55)

$$\frac{\partial^2\psi_{2}}{\partial\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\pa... ...b\frac{\partial\psi_{2}}{\partial\varphi}-b^2\rho^2\psi_{2}+2b(2l+1)\psi_{2}=0.$$ (2.56)

К этим уравнениям мы могли бы прийти и более прямым путем, исходя из оператора $P$ , преобразованного по формулам $\S 6$ ч. $III$ [10] к цилиндрическим координатам.

Уравнения (2.52) и (2.53) легко решаются разделением переменных. При этом достаточно рассмотреть уравнение для одной из функций $\psi_{1}$ или $\psi_{2}$ , так как в силу (2.42) эти функции связаны соотношениями

$$\frac{\partial\psi_{2}}{\partial x}-i\frac{\partial\psi_{2}}{\partial y}+b(x-iy)\psi_{2}=\frac{i}{\hbar}(P^{ \prime}-p^{ \prime}_{z})\psi_{1},$$ (2.57)

$$\frac{\partial\psi_{1}}{\partial x}+i\frac{\partial\psi_{1}}{\partial y}-b(x+iy)\psi_{1}=\frac{i}{\hbar}(P^{ \prime}+p^{ \prime}_{z})\psi_{2},$$ (2.58)

которые являются обобщением уравнений (1.18) $\S 1$ на случай наличия магнитного поля.

Уравнения (2.50) и (2.51) получаются из (2.54) и (2.55) в результате исключения одной из функций $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ .

Положим

$$\psi_{2}=\lambda e^{-im\varphi}f,$$ (2.59)

где $\lambda$ есть постоянный множитель, $m$ есть целое число, а $f$ зависит только от $\rho$ , и введкм новую независимую переменную

$$\xi=b\rho^2.$$ (2.60)

Вытекающее из (2.53) уравнение для $f$ будет

$$-\frac{d}{d\xi}\left(\xi\frac{df}{d\xi}\right)+\left(\frac{\xi}{4}+\frac{m^2}{4\xi}\right)f=\left(l+\frac{m+1}{2}\right)f.$$ (2.61)

Это уравнение тольо обозначениями отличается от уравнения для функций, связанных с обобщенными полиномами Лагерра, которое было рассмотрено в гл. $V$ ч. $II$ , посвященной теории Шредингера [уравнение (5.67) $\S 3$ гл. $V$ ч. $II$ ]. Мы видели, что собственные значения оператора в левой части (2.58) суть

$$l+\frac{m+1}{2}=\frac{\vert m\vert+1}{2}+p\qquad (p=0, 1, 2,\dots),$$

так что, $l$ будет целым неотрицательным чилом

$$l=0, 1, 2,\dots$$ (2.62)

При данном $l$ число $m$ может принимать значения

$$m=-l, -l+1,\dots,-1, 0, 1, 2,\dots$$ (2.63)

В качестве собственных функций мы можем взять при $m>0$

$$f_{lm}(\xi)=e^{-\frac{\xi}{2}}\xi^{\frac{m}{2}}Q^m_{l}(\xi),$$ (2.64)

при $m<0$

$$f_{lm}(\xi)=(-1)^me^{-\frac{\xi}{2}}\xi^{-\frac{m}{2}}Q^{-m}_{l+m}(\xi),$$ (2.65)

где $Q$ суть обобщенные полиномы Лагерра, подробно исследованные нами в $\S 4$ гл. $V$ ч. $II$ . С этим значением $f_{lm}(\xi)$ мы можем положить

$$\psi_{2}=\lambda e^{-im\varphi}f_{lm}(\xi).$$ (2.66)

Функция $\psi_{1}$ выражается через $\psi_{2}$ по формуле (2.54), которую в полярных координатах можно написать в виде

$$\psi_{1}=-\frac{i\hbar}{P^{ \prime}-p^{ \prime}_{z}}\cdot\frac{... ...\partial\rho}-i\frac{\partial\psi_{2}}{\partial\varphi}+b\rho^2\psi_{2}\right).$$ (2.67)

Подставляя сюда выражение (2.63) для $\psi_{2}$ , будем иметь

$$\psi_{1}=-\lambda\frac{i\hbar\sqrt{b}}{P^{ \prime}-p^{ \prime}_... ...m+1)\varphi}\frac{1}{\sqrt{\xi}}\left[2\xi\frac{df_{lm}}{d\xi}+(\xi-m)f\right].$$ (2.68)

На основании свойств полиномов $Q^s_{p}(x)$ :

$$\frac{dQ^s_{p}(x)}{dx}=-pQ^{s+1}_{p-1}(x), [(\ref{dfg.9})\;\S\;4\;$$гл. $$V \;$$ч. $$II]$$

$$x\frac{dQ^s_{p}(x)}{dx}+sQ^s_{p}(x)=(p+s)Q^{s-1}_{p}(x), [(\ref{dfg.12})\;\S\;4\;$$гл. $$V \;$$ч. $$II]$$

нетрудно показать, что как для положительных, так и для отрицательных значений $m$ имеет место равенство

$$\frac{1}{\sqrt{\xi}}\left[2\xi\frac{df_{lm}}{d\xi}+(\xi-m)f_{lm}\right]=-2lf_{l-1,m+1}.$$ (2.69)

Подставляя (2.66) в (2.65), будем иметь

$$\psi_{1}=\lambda\frac{i\hbar\sqrt{b}}{P^{ \prime}-p^{ \prime}_{z}}\cdot 2le^{-i(m+1)\varphi}f_{l-1, m+1}(\xi).$$ (2.70)

Равенства (2.67) и (2.63) перепишем для краткости в виде

$$\psi_{1}=\lambda\psi^0_{1},\qquad \psi_{2}=\lambda\psi^0_{2},$$ (2.71)

где $\psi^0_{1}$ и $\psi^0_{2}$ суть определенные выше функции.

Уравнения (2.45) для двухкомпонентной функции $\psi$ представляют первые два уравнения системы

$$(s_{1}P_{x}+s_{2}P_{y}+s_{3}P_{z})\psi=P^{ \prime}\psi$$ (2.72)

для четырехкомпонентных функций. В уравнениях (2.45) $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ суть двухрядные матрицы Паули, а в уравнениях (2.69) $s_{1}, s_{2}, s_{3}$ суть четырехрядные матрицы (1.21) $\S 1$ . Структура этих четырехрядных матриц такова, что первые два уравнения системы (2.69) совпадают, как мы только что говорили, с уравнениями (2.45), а последние два получаются из них заменой $\psi_{1}$ на $-\psi_{4}$ и $\psi_{2}$ на $\psi_{3}$ . Поэтому если функции (2.69) удовлетворяют первым двум уравнениям системы (2.70), то вместе с функциями

$$\psi_{3}=\mu\psi^0_{2},\qquad \psi_{4}=-\psi^0_{1}$$ (2.73)

они будут удовлетворять всем уравнениям этой системы. Это имеет место независимо от вида операторов $P_{x},P_{y},P_{z}$ , в частности, и для рассмотренного нами в $\S 1$ случая свободного электрона, причем уравнения (1.19) и (1.23) $\S 1$ соответствуют уравнениям (2.69) и (2.70) $\S 2$ .

Ввиду такого соответствия можно не повторять выкладок $\S 1$ , а только напомнить формулу (1.13) $\S 1$ , связывающую собственные значения $W$ и $P^{ \prime}$ :

$$W=\pm\sqrt{m^2c^4+c^2P^{ \prime^2}},$$ (2.74)

и вытекающее из (2.49) $\S 2$ выражение для $P^{ \prime}$ :

$$P^{ \prime}=\pm\sqrt{p^{ \prime^2}_{z}+4\hbar^2bl}.$$ (2.75)

В заключение заметим, что зависимость функций (2.63) и (2.67) от угла $\varphi$ показывает, что они являются собственными функциями оператора

$${\cal M}_{z}=xp_{y}-yp_{x}+\frac{\hbar}{2} \sigma_{z}=p_{\varphi}+\frac{\hbar}{2} \sigma_{3}$$ (2.76)

для собственного значения

$${\cal M}^{ \prime}_{z}=-\left(m+\frac{1}{2}\right)\hbar.$$ (2.77)

Оператор ${\cal M}_{z}$ коммутирует со всеми тремя операторами $H$ ,$P$ и $p_{z}$ , входящими в уравнения (2.41),(2.42) и (2.43). Этот факт выражает аксиальную симметрию рассматриваемой задачи.