5.  Собственные значения и собственные

Возвратимся теперь к рассуждениям $\S 3$ . Мы там поставили себе задачу найти собственные функции и собственные значения оператора в левой части уравнения (3.15)

$$-\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{s^2}{4x}\right)y=\lambda y.$$ (5.66)

Собственные значения оказались равными

$$\lambda=p+\frac{s+1}{2}\qquad (p=0,1,2,\cdots),$$ (5.67)

а собственные функции были выражены нами через обобщенные полиномы Лагерра

$$y_{p}(x)=c_{p}x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^s_{p}(x).$$ (5.68)

Постоянную $c_{p}$ мы определим из условия нормировки

$$\int\limits_{0}^{\infty} [y_{p}]^2 dx=1.$$

Вычисляя по формуле (4.61) $\S 4$ входящий сюда интеграл, получим для постоянной $c_{p}$ выражение

$$c_{p}=\frac{1}{\sqrt{p!\Gamma(s+p+1)}}.$$ (5.69)

Таким образом, функции

$$y_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{p!\Gamma(s+p+1)}}x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^s_{p}(x)$$ (5.70)

будут ортогональны и нормированы

$$\int\limits_{0}^{\infty} y_{p}(x)y_{p^{ \prime}}(x)dx=\delta_{pp^{ \prime}},$$ (5.71)

причем система этих функций будет замкнутой.

Пользуясь формулой (3.36) $\S 3$ , мы можем также написать

$$y_{p}(x)=\frac{1}{\Gamma(s+1)}\sqrt{\frac{\Gamma(s+p+1)}{p!}} x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}F(-p,s+1;x).$$ (5.72)

Иногда удобно бывает пользоваться нормированными полиномами

$$Q^{*^s}_{p}(x)=\frac{Q^s_{p}(x)}{\sqrt{p!\Gamma(s+p+1)}} ,$$ (5.73)

при помощи которых функции $y_{p}(x)$ выражаются по формуле

$$y_{p}(x)=x^{\frac{s}{2}}e^{-\frac{x}{2}}Q^{*^s}_{p}(x).$$ (5.74)