4.  Некоторые свойства обобщенных полиномов Лагерра

Обобщенные полиномы Лагерра, представляющие решения дифференциального уравнения

$$x\frac{d^2Q^{s}_{p}}{dx^2}+(s+1-x)\frac{dQ^s_{p}}{dx}+pQ^s_{p}=0,$$ (4.38)

могут быть представлены в виде

$$Q^s_{p}(x)=\frac{e^x}{x^s}\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}x^{s+p}.$$ (4.39)

Для доказательства этой формулы умножим уравнение (3.37) $\S 3$ на $x^se^{-x}$ и напишем результат в виде

$$\begin{multline} x^se^{-x}Q^s_{p}(x)=\frac{d^p}{dx^p}(e^{-x})\cdot x^{p+s}+p\fra... ...d^2}{dx^2}x^{p+s}+\cdots +e^{-x}\frac{d^p}{dx^p}x^{p+s}. \nonumber\end{multline}$$

()

По формуле Лейбница (Leibnitz) для производной от произведения двух функций это выражение равно

$$x^se^{-x}Q^s_{p}(x)=\frac{d^p}{dx^p}e^{-x}x^{s+p},$$ (4.41)

что и требовалось доказать.

По теореме Коши мы можем представить это выражение в виде

$$x^se^{-x}Q^s_{p}(x)=\frac{p!}{2\pi i}\int\frac{e^{-z}z^{p+s}}{(z-x)^{p+1}}dz.$$ (4.42)

Вводя здесь новую переменную интегрирования

$$t=\frac{z-x}{z},$$

получим

$$Q^s_{p}(x)=\frac{p!}{2\pi i}\int e^{-\frac{xt}{1-t}}\cdot\frac{1}{(1-t)^{s+1}}\frac{dt}{t^{p+1}}.$$ (4.43)

Но это выражение по той же теореме Коши равно

$$Q^s_{p}(x)=\left(\frac{d^p}{dt^p}\frac{e^{-\frac{xt}{1-t}}}{(1-t)^{s+1}}\right)_{t=0}.$$ (4.44)

Отсюда получаем разложение в ряд Тейлора

$$(1-t)^{-s-1}e^{-\frac{xt}{1-t}}=\sum^{\infty}_{p=0}\frac{t^p}{p !}Q^s_{p}(x).$$ (4.45)

Эта формула удобна для вывода различных соотношений между функциями $Q^s_{p}(x)$ . Умножая ее на $1-t$ ,получим

$$(1-t)^{-s}e^{-\frac{xt}{1-t}}=\sum^{\infty}_{p=0}\frac{t^p}{p !}[Q^s_{p}(x)-pQ^s_{p-1}(x)].$$ (4.46)

С другой стороны, заменяя в (4.44) $s$ на $s-1$ , плучим в левой части то же выражение. Сравнивая коэффициенты при степенях $t$ , будем иметь

$$Q^{s-1}_{p}=Q^s_{p}(x)-pQ^s_{p-1}(x).$$ (4.47)

Эта формула позволяет выразить функции с разными значками $s$ , отличающимися друг от друга на целое число, через функции с одним и тем же (наибольшим) значком.

Дифференцируя обе части (4.44) по $x$ , получим, путем аналогичных рассуждений

$$\frac{dQ^s_{p}(x)}{dx}=-pQ^{s+1}_{p-1}(x).$$ (4.48)

Дифференцируя (4.45) по $t$ и выражая обе части в виде рядов, будем иметь

$$sQ^s_{p}(x)-xQ^{s+1}_p(x)=Q^s_{p+1}(x)-(p+1)Q^s_p(x)$$

или после замены $s$ на $s-1$

$$xQ^s_p(x)=(p+s)Q^{s-1}_p(x)-Q^{s-1}_{p+1}(x).$$ (4.49)

Отсюда при помощи (4.46) находим

$$(2p+s+1-x)Q^s_p(x)=Q^s_{p+1}(x)+p(p+s)Q^s_{p-1}(x).$$ (4.50)

Мы получили рекуррентную формулу, связывающую три последовательные полинома с одним и тем же верхним значком.

Из (4.46),(4.47) и (4.48) нетрудно вывести соотношения

$$x\frac{dQ^s_{p}(x)}{dx}+sQ^s_{p}(x)=(p+s)Q^{s-1}_{p}(x),$$ (4.51)

$$x\frac{dQ^s_{p}(x)}{dx}+(s-x)Q^s_{p}(x)=Q^{s-1}_{p+1}(x).$$ (4.52)

Дифференцируя (4.51) по $x$ и пользуясь (4.47), получаем для $Q^s_{p}(x)$ дифференциальное уравнение (4.38).

Из тех же формул легко выводятся соотношения

$$x\frac{dQ^s_{p-1}(x)}{dx}+(p+s-x)Q^s_{p-1}(x)=Q^s_{p}(x),$$ (4.53)

$$x\frac{dQ^s_{p}(x)}{dx}-pQ^s_{p}(x)=-p(p+s)Q^s_{p-1}(x),$$ (4.54)

которые также приводят к дифференциальному уравнению (4.38).

В дальнейшем нам понадобится вычислять интегралы вида

$$I=\int^{\infty}_{0} x^se^{-x}Q^s_{p}(x)f(x)dx.$$ (4.55)

Для этого удобно преобразовать интеграл (4.54), пользуясь выражением (4.39) и интегрируя $p$ раз по частям. Мы будем иметь

$$I=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{d^p}{dx^p}(e^{-x}x^{p+s})f(x)dx= (-1)^p\int\limits_{0}^{\infty} e^{-x}x^{p+s}f^{(p)}(x)dx.$$ (4.56)

Полагая здесь

$$f(x)=e^{(1-a)x},$$

получим

$$\int\limits_{0}^{\infty}x^se^{-ax}Q^s_{p}(x)dx= (a-1)^p\int\limits_{0}^{\infty}e^{-ax}x^{s+p}dx=\frac{(a-1)^p}{a^{s+p+1}}\Gamma(s+p+1).$$ (4.57)

Более общий интеграл

$$\int\limits_{0}^{\infty}x^{s+r}e^{-ax}Q^s_{p}(x)dx$$ (4.58)

получается, при $r$ целом, дифференцированием выражения (4.56) по параметру $a$ .

Положим в (4.54) и (4.55) $f(x)=x^r$ , получим

$$\int\limits_{0}^{\infty}x^{s+r}e^{-x}Q^s_{p}(x)dx=(-1)^pr(r-1)\cdots(r-p+1)\Gamma(s+r+1).$$ (4.59)

Если $f(x)$ -полином степени ниже $p$ , то интеграл (4.54) равен нулю. Пользуясь этим замечанием, найдем интегралы (4.54) для случаев

$$\begin{multline}\nonumber f(x)=x^2Q^s_{p}(x)=(-1)^p\left[x^{p+2}-p(s+p)x^{p+1}+\... ... \left. +\frac{p(p-1)}{2}(s+p)(s+p-1)x^p+\cdots\right], \nonumber\end{multline}$$

$$f(x)=xQ^s_{p}(x)=(-1)^p[x^{p+1}-p(s+p)x^p+\cdots],$$

$$f(x)=Q^s_{p}(x)=(-1)^px^p+\cdots,$$

$$f(x)=\frac{1}{x}Q^s_{p}(x)=\frac{\Gamma(s+p+1)}{\Gamma(s+1)}\cdot\frac{1}{x}+\cdots,$$

$$f(x)=\frac{1}{x^2}Q^s_{p}(x)=\frac{\Gamma(s+p+1)}{\Gamma(s+1)}\left[\frac{1}{x^2}-\frac{p}{s+1}\cdot\frac{1}{x}+\cdots\right],$$

где невыписанные члены представляют полиномы степени ниже $p$ . Мы будем иметь

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s+2}[Q^s_{p}(x)]^2dx=p!\Gamma(s+p+1)\{6p^2+6p(s+1)+(s+1)(s+2)\},$$ (4.61)

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s+1}[Q^s_{p}(x)]^2dx=p!\Gamma(s+p+1)(2p+s+1),$$ (4.62)

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^s[Q^s_{p}(x)]^2dx=p!\Gamma(s+p+1),$$ (4.63)

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}[Q^s_{p}(x)]^2dx=p!\Gamma(s+p+1)\cdot\frac{1}{s},$$ (4.64)

$$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-2}[Q^s_{p}(x)]^2dx=p!\Gamma(s+p+1)\frac{2p+s+1}{(s-1)s(s+1)}.$$ (4.65)

Покажем, что полином $Q^s_{p}(x)$ имеет ровно $p$ положительных корней,так что все его корни вещественны и положительны. Если бы чмсло таких корней было меньше $p$ , например равно $q$ , то, обозначив их через $\alpha_{1}, \alpha_{2},\cdots,\alpha_{q}$ , мы могли бы составить функцию

$$f(x)=(x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\cdots(x-\alpha_{q}),$$

произведение которой на $Q^s_{p}(x)$ оставалось бы, при изменении $x$ от 0 до $\infty$ , все время одного знака, так что интеграл (4.54) был бы отличен от нуля. Но этого не может быть, так как $f(x)$ есть полином степени ниже $p$ , и по формуле (4.55) интеграл (4.54) должен равняться нулю. Следовательно, число положительных корней не может быть меньше $p$ . Так как оно не может быть и больше $p$ , то оно должно быть равно $p$ .