3.  Решение одной вспомогательной задачи

На основании результатов общего исследования уравнения для радиальных функций (§7 гл.4), мы знаем, что отрицательным значениям параметра $s$ соответствует точечный, а положительным-сплошной спектр. Для исследования точечного спектра мы введем в качестве независимой переменной величину

$$x=r_{1}\sqrt{-8\varepsilon}$$ (3.12)

и положим

$$\lambda=\frac{1}{\sqrt{-2\varepsilon}}.$$ (3.13)

Величина $\lambda$ будет, очевидно, вещестиенной; мы будем считать ее положительной. Переменная $x$ , будет также вещественной, и пределы ее изменения будут те же, что для $r$ , а именно, 0 и $\infty$ . Уравнение (2.10) $\S 2$ напишется теперь

$$x\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}+\left(-\frac{x}{4}+\lambda-\frac{s^2}{4x}\right)y=0$$ (3.14)

или

$$-\frac{d}{dx}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{x}{4}+\frac{s^2}{4x}\right)y=\lambda y.$$ (3.15)

В левой части этого уравнения стоит самосопряженный оператор, а $\lambda$ играет роль параметра. Подстановкой (3.12) и (3.13) мы как бы исключили сплошной спектр и привели решение уравнения (2.10) для точечного спектра к решению некоторой вспомогательной задачи, а именно, к нахождению собственных значений и функций оператора (3.15).

Исследуем характер решения уравнения (3.14) при малых и при больших значениях $x$ . Мы могли бы воспользоваться здесь результатами $\S 7$ гл.4, но проще повторить наши рассуждения применительно к уравнению (3.14).

Для малых $x$ полагаем

$$y=x^{\alpha}+ax^{\alpha+1}+\cdots$$ (3.16)

и получаем для $\alpha$ два значения

$$\alpha=\pm\frac{s}{2}.$$ (3.17)

Для больших $x$ полагаем

$$y=e^{-\alpha x}x^{\beta}\left(1+\frac{\alpha^{\prime}}{x}+\cdots\right)$$ (3.18)

и получаем для $\alpha$ и $\beta$ два значения

$$\alpha=\frac{1}{2},\qquad \beta=-\frac{1}{2}+\lambda$$ (3.19)

и

$$\alpha=-\frac{1}{2},\qquad \beta=-\frac{1}{2}-\lambda.$$ (3.20)

Отсюда заключаем, что искомое решение должно быть при малых $x$ вида

$$y=Cx^{\frac{s}{2}}(1+ax+\cdots)$$ (3.21)

и при больших $x$ вида

$$y=C^{\prime}e^{-\frac{x}{2}}x^{\lambda-\frac{1}{2}}\left(1+\frac{\alpha^{\prime}}{x}+\cdots\right).$$ (3.22)

Поэтому, если мы положим

$$y=e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{s}{2}}Q(x),$$ (3.23)

то функция $Q(x)$ должна удовлетворять условиям

$$\left. \begin{array}{rcl} Q(x)\quad\mbox{конечна при}\quad x&=&0,... ...; x^{\lambda-\frac{s+1}{2}}\mbox{при}\quad x&\to&\infty. \end{array} \right\}$$ (3.24)

Уравнение (3.14) для $y$ приводит к следующему уравнению для $Q(x)$ :

$$x\frac{d^2Q}{dx^2}+(s+1-x)\frac{dQ}{dx}+\left(\lambda-\frac{s+1}{2}\right)Q=0.$$ (3.25)

Это уравнение можно решить двумя способами: при помощи рядов и при помощи определенных интегралов. Мы применим здесь первый способ, а аналогичное уравнение для сплошного спектра будем решать по второму способу.

Будем искать решения уравнения (3.25) в виде ряда

$$Q=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^n.$$ (3.26)

Подставляя этот ряд в уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при степенях $x$ , получим ряд равенств вида

$$n(n+s)a_{n}+\left(-n+\lambda+\frac{1}{2}-\frac{s}{2}\right)a_{n-1}=0,$$ (3.27)

которые служат для последовательного определения коэффициентов.

Коэффициент $a_{0}$ остается произвольным, а остальные выражаются через него:

$$\left. \begin{array}{rcl} a_{1}&=&\frac{\frac{s+1}{2}-\lambda}{1\... ...\cdot(s+1)(s+2)} a_{0}, \multicolumn{3}{l}{\dotfill} \end{array} \right\}$$ (3.28)

Поэтому, если мы обозначим через $F(\alpha,\gamma;x)$ обобщенный гипергеометрический ряд, составленный по закону

$$F(\alpha,\gamma;x)=1+\frac{\alpha}{\gamma}\cdot \frac{x}{1}+\frac{\alpha(\alpha +1)}{\gamma(\gamma+1)}\frac{x^2}{1\cdot 2}+\cdots,$$ (3.29)

мы можем написать

$$Q=a_{0}F\left(\frac{s+1}{2}-\lambda, s+1; x\right).$$ (3.30)

Здесь возможны два случая. Если

$$\lambda=\frac{s+1}{2}+p\qquad (p=o,1,2,\cdots),$$ (3.31)

то коэффициент $a_{p+1}$ и все последующие будут равны нулю, так что ряд обрывается и для $Q$ получается не бесконечный ряд, а полином. Если условие (3.31) не соблюдается, то ряд продолжается до бесконечности, причем он будет всегда сходящимся, так как отношение двух последовательных членов

$$\frac{a_{n}x^n}{a_{n-1}x^{n-1}}=x\frac{n-\lambda-\frac{1}{2}+\frac{s}{2}}{n(n+s)}$$ (3.32)

при $n\to\infty$ стремится к нулю при всяком $x$ . Но из той же формулы (3.32) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого, будут одного знака; следовательно, его сумма, при $x\to\infty$ , будет возрастать быстрее всякой конечной степени $x$ , так что условие (3.24) не будет выполняться. Поэтому второй случай отпадает, и мы должны иметь

$$\lambda=\frac{s+1}{2}+p.$$

Таким образом, единственными решениями уравнения (3.25), удовлетворяющими поставленным условиям, являются полиномы

$$Q_{p}=a_{0}F(-p,s+1;x)$$ (3.33)

или в раскрытом виде

$$Q_{p}=a_{0}\left\{1-\frac{p}{1}\frac{x}{s+1}+\frac{p(p-1)}{2}\frac{x^2}{(s+1)(s+2)}+\cdots+(-1)^p\frac{x^p}{(s+1)\cdots(s+p)}\right\}.$$ (3.34)

Если мы положим здесь

$$a_{0}=(s+1)\cdots(s+p)=\frac{\Gamma(s+p+1)}{\Gamma(s+1)},$$ (3.35)

то соответствующие функции $Q_{p}$ , которые мы обозначим через $Q^s_{p}(x)$ , будут полиномами не только относительно $x$ , но и относительно $s$ :

$$Q^s_{p}(x)=\frac{\Gamma(s+p+1)}{\Gamma(s+1)}F(-p,s+1;x)$$ (3.36)

или

$$\begin{multline} Q^s_{p}(x)=(-1)^p\left\{x^p-\frac{p}{1}(s+p)x^{p-1}+\frac{p(p-1... ...-1)^p(s+p)\cdots(s+1)\vrule height15pt width0pt\right\}. \nonumber\end{multline}$$

(3.36)

Эти полиномы можно назвать обобщенными полиномами Лагерра (Laguerre), обыкновенные полиномы Лагерра представляют их частный случай (при $s=0$ ).