2.  Уравнение для радиальных функций водорода. Атомные единицы меры

В атоме водорода потенциал положения электрона, взаимодействующего с ядром по закону Кулона, равен

$$U(r)=-\frac{e^2}{r},$$ (2.1)

где $r$ -расстояние от электрона до ядра, которое, ввиду его бодьшой массы, мы будем считать неподвижным и находящимся в начале координат. На основании формулы (3.28) $\S 3$ гл.4, уравнение для радиальных функций атома водорода напишется

$$\frac{d^2 R}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dR}{dr}-\frac{l(l+1)}{r^2}R+\frac{2}{\hbar^2}\left(E+\frac{e^2}{r}\right)R=0.$$ (2.2)

Если бы мы приняли во внимание движение ядра, мы получили бы уравнение того же вида, в котором вместо массы электрона $m$ стояла бы "приведенная масса" $m^{\prime}$ , равная

$$m^{\prime}=\frac{mM}{m+M},$$ (2.3)

где $M$ -масса ядра.

Введем в качестве единиц меры деленную на $2\pi$ постоянную Планка и заряд и массу электрона

$$\begin{array}{rcl} \hbar&=&\frac{h}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\cdot... .... СГСЭ}, m&=&9,11\cdot 10^{-28}\qquad\mbox{гр}. \end{array}$$ (2.4)

Построенная на этой абсолютной системе единиц единица длины будет равна

$$a=\frac{\hbar^2}{me^2}=0,529\cdot10^{-8} ,$$ (2.5)

а единица кинетического потенциала (энергии)

$$E_{0}=\frac{me^4}{\hbar^2}=\frac{e^2}{a}=e\cdot\frac{e}{a}=27,2 ,$$ (2.6)

тогда как единицей скорости будет величина $\frac{e^2}{\hbar}$ , равная $\frac{1}{137}$ скорости света.

Положим в уравнении (2.2)

$$r_{1}=\frac{r}{a},\qquad\varepsilon=\frac{E}{E_{0}}.$$ (2.7)

После этого оно примет вид

$$\frac{d^2R}{dr^2_{1}}+\frac{2}{r_{1}}\frac{dR}{dr_{1}}+\left(2\varepsilon+\frac{2}{r_{1}}-\frac{l(l+1)}{r^2_{1}}\right)R=0.$$ (2.8)

Подстановка

$$R=\frac{1}{\sqrt{r_{1}}}y$$ (2.9)

приводит уравнение приводит уравнение (2.8) к виду

$$\frac{d^2y}{dr^2_{1}}+\frac{1}{r_{1}}\frac{dy}{dr_{1}}+\left(2\varepsilon+\frac{2}{r_{1}}-\frac{s^2}{4r^2_{1}}\right)y=0,$$ (2.10)

где мы положили

$$s=2l+1.$$ (2.11)

Написанное в таком виде уравнение встречается, кроме рассматриваемой задачи, еще и в ряде других задач (атом водорода по Дираку, явление Штарка, рассеяние $\alpha$ -частиц), причем параметр $s$ в этих задачах не обязательно равен целому нечетному числу. Поэтому мы рассмотрим уравнение (2.10) подробнее и не будем считать $s$ целым числом, а предположим только, что $s\ge 0$ , что, очевидно, всегда возможно, так как в уравнение входит $s^2$ .