6.  Уровни потенциалов и радиальные функции точечного спектра для водорода

Обратимся теперь к нашей физической задаче. Найдем прежде всего уровни потенциалов для водорода. Параметр потенциалов $\varepsilon$ в атомных единицах был связан с параметром $\lambda$ нашей вспомогательной задачи соотношением

$$\frac{1}{\sqrt{-2\varepsilon}}=\lambda,$$ (6.75)

причем $\lambda$ равнялось

$$\lambda=p+\frac{s+1}{2} \qquad (p=0,1,2,\cdots).$$ (6.76)

Параметр $s$ был связан с азимутальным квантовым числом $l$ соотношением

$$s=2l+1,$$ (6.77)

а целое число $p$ равнялось числу нулей радиальной функции, т.е. по определению $\S8$ гл. IV, радиальному квантовому числу $n_{r}$ . Поэтому параметр $\lambda$ будет целым числом

$$\lambda=n_{r}+l+1=n,$$ (6.78)

которое мы условились называть главным квантовым числом.

Уровни потенциалов в атомных единицах будут равны

$$\varepsilon_{n}=-\frac{1}{2n^2}\qquad (n=1,2,\cdots).$$ (6.79)

Они зависят, таким образом, только от главного квантового числа. Эта особенность Кулонова поля имеет глубокие основания: она связана с той группой преобразований, какую допускает уравнение Шредингера для атома водорода, написанное в пространстве импульсов. Группа эта, характеризующая особого рода симметрию атома водорода, совпадает с группой вращения четырехмерного шара. К этому вопросу мы вернемся в конце части $IV$ этой книги.

В обычных единицах уровни суммарного потенциала атома водорода равны

$$E=\frac{e^2}{a}\varepsilon_{n}=-\frac{2\pi R\hbar}{n^2},$$ (6.80)

где

$$R=\frac{me^4}{4\pi\hbar^3}=\frac{2\pi^2me^4}{\hbar^3}$$ (6.81)

есть так называемая постоянная Ридберга (Rydberg). Численное значение ее равно

$$R=3,29\cdot 10^{15} {\text{сек}^{-1}}.$$ (6.82)

Согласно замечанию, сделанному нами в $\S 2$ ,чтобы принять во внимание конечную массу ядра, нужно заменить в наших формулах, и в частности в формуле (6.79), массу электрона приведенной массой

$$m^{\prime}=\frac{mM}{m+M}.$$

По правилу частот Бора частоты спектральных линий выразятся формулой

$$\nu_{nn^{\prime}}=\frac{\omega_{nn^{\prime}}}{2\pi}=R\left(\frac{1}{n^{\prime ^2}}-\frac{1}{n^2}\right).$$ (6.83)

Если мы положим $n^{\prime}=1$ и будем давать значения $n=2,3,\cdots$ , мы получим ряд линий, составляющих так называемую серию Лаймана (Lyman). Аналогично, значения $n^{\prime}=2, n=3,4,\cdots$ дают серию Бальмера (Balmer) и значения $n^{\prime}=3, n=4,5,\cdots$ серию Пашена (Paschen).

Выразим теперь радиальные функции через обобщенные полиномы Лагерра. Аргумент $x$ в этих полиномах связан с приведенным расстоянием $r_{1}$ соотношением

$$x=\frac{2r_{1}}{n},$$ (6.84)

вытекающим из формул (3.12) и (3.13) $\S 3$ и (6.76). По формулам (2.9) $\S 2$ , (5.72) $\S 5$ , а также (6.74), (6.75) и (6.76) будем иметь

$$R_{nl}(r_{1})=c_{n}\left(\frac{2r_{1}}{n}\right)^le^{-\frac{r_{1}}{n}}Q^{*2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r_{1}}{n}\right),$$ (6.85)

где $c_{n}$ - нормировочный множитель, который нужно определить из условия

$$\int\limits_{0}^{\infty} r_{1}^2[R_{nl}(r_{1})]^2dr_{1}=1.$$ (6.86)

Для вычмсления интеграла введем по формуле (6.82) переменную $x$ . Мы получим

$$c^2_{n}\left(\frac{n}{2}\right)^3\int\limits_{0}^{\infty} x^{2l+2}e^{-x}[Q^{*2l+1}_{n-l-1}(x)]^2dx=1.$$

Если мы припомним связь между числами $n, l$ и $p,s$ , то входящий сюда интеграл выразится как отношение (4.60) к (4.61) $\S 4$ . Он будет равен

$$\int\limits_{0}^{\infty} x^{s+1}e^{-x}[Q^{*^s}_{p}(x)]^2dx=2p+s+1=2n,$$

отсюда

$$c^2_{n}=\frac{4}{n^4},\qquad c_{n}=\frac{2}{n^2},$$ (6.87)

так что нормированными радиальными функциями будут

$$R_{nl}(r_{1})=\frac{2}{n^2}\left(\frac{2r_{1}}{n}\right)^le^{-\frac{r_{1}}{n}}Q^{*2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r_{1}}{n}\right).$$ (6.88)

Если ввести сюда выражение для $Q^*$ через обобщенный гипергеометрический ряд и принять во внимание, что $l$ есть целое число, мы получим

$$\begin{multline} R_{nl}(r_{1})=\frac{2}{n^{l+2}}\sqrt{(n-l)(n-l+1)\cdots(n+l)}\t... ...c{r_{1}}{n}}F\left(-n+l+1, 2l+2;\frac{2r_{1}}{n}\right), \nonumber\end{multline}$$

()

где, согласно определению (3.29) $\S 3$ ,

$$\begin{multline} F\left(-n+l+1, 2l+2;\frac{2r_{1}}{n}\right)=1-\frac{n-l-1}{(2l+... ...3)\cdot 1\cdot 2}\left(\frac{2r_{1}}{n}\right)^2-\cdots. \nonumber\end{multline}$$

()

Отсюда можно легко вывести предельное выражение для $R_{nl}(r_{1})$ при весьма больших $n$ . Предел ряда (3.29) будет

$$\begin{multline} 1-\frac{2r_{1}}{(2l+2)\cdot 1}+\frac{(2r_{1})^2}{(2l+2)(2l+3)\c... ...(2l+1)!(2r_{1})^{-l-\frac{1}{2}}J_{2l+1}(\sqrt{8r_{1}}), \nonumber\end{multline}$$

(6.89)

где символом $J_{2l+1}$ обозначена Бесселева функция порядка $2l+1$ . Отсюда получаем без труда

$$\lim_{n\to\infty}n^{3/2}R_{nl}(r_{1})=\sqrt\frac{2}{r_{1}} J_{2l+1}(\sqrt{8r_{1}}).$$ (6.92)

Функция (6.90) принадлежит уже сплошному спектру. Функции $R_{nl}(r_{1})$ как нормированные собственные функции оператора полного потенциала обладают свойством ортогональности и нормальности

$$\int\limits_{0}^{\infty} R_{nl}(r_{1})R_{n^{\prime}l}(r_{1})r_{1}^2dr_{1}=\delta_{nn^{\prime}},$$ (6.93)

но они не образуют замкнутой системы, так как оператор полного потенциала имеет кроме точечного также и сплошной спектр.

В заключение выпишем несколько первых функций $R_{nl}(r_{1})$ :

$$R_{10}(r_{1})=2e^{-r_{1}},$$ (6.94)

$$R_{20}(r_{1})=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{r_{1}}{2}}\left(1-\frac... ...}}{2}\right),\qquad R_{21}(r_{1})=\frac{1}{\sqrt{24}}r_{1}e^{-\frac{r_{1}}{2}},$$ (6.95)

$$R_{30}(r_{1})=\sqrt{\frac{4}{27}}e^{-\frac{r_{1}}{3}}\left[1-\frac{2r_{1}}{3}+\frac{1}{6}\left(\frac{2r_{1}}{3}\right)^2\right],$$ (6.96)

$$R_{31}(r_{1})=\sqrt{\frac{8}{243}}e^{-\frac{r_{1}}{3}}\left[1-\frac{1}{4}\left(\frac{2r_{1}}{3}\right)\right],$$ (6.97)

$$R_{32}(r_{1})=\frac{1}{\sqrt{2430}}\left(\frac{2r_{1}}{3}\right)^2e^{-\frac{r_{1}}{3}}.$$ (6.98)