1.  Свободный электрон

Волновое уравнение для свободного электрона имеет вид

$$H\psi-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=0,$$ (1.1)

где, согласно (3.18) $\S 3$ и (4.33) $\S 4$ гл. I,

$$H=c(\alpha_{1}p_{x}+\alpha_{2}p_{y}+\alpha_{3}p_{z})+mc^2\alpha_{4},$$ (1.2)

или

$$H=c\rho_{a}(\sigma_{x}p_{x}+\sigma_{y}p_{y}+\sigma_{z}p_{z})+mc^2\rho_{c}.$$ (1.3)

Так как для свободного электрона имеет место закон сохранения энергии, мы можем к волновому уравнению присоединить уравнение для собственных функций оператора энергии

$$H\psi=W\psi.$$ (1.4)

Далее, операторы $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ коммутативны с $H$ и поэтому являются интегралами уравнений движения. Так как они коммутативны и между собой, мы можем считать составляюшие коичества движения заданными числами $p^{ \prime}_{x},p^{ \prime}_{y},p^{ \prime}_{z}$ и подчинить функцию $\psi$ добавочным условиям

$$\left. \begin{array}{lcr} p_{x}\psi=-i\hbar\frac{\partial \psi}{\... ...ar\frac{\partial \psi}{\partial z}=p^{ \prime}_{z}\psi. \end{array} \right\}$$ (1.5)

Математически это равносильно тому, что мы зависимость всех четырех функций $\psi_{i}$ от координат и времени предполагаем в виде

$$\psi=\psi^0 e^{\frac{i}{\hbar}(xp^{ \prime}_{x}+yp^{ \prime}_{y}+zp^{ \prime}_{z}-Wt)},$$ (1.6)

т.е. рассматриваем плоскую волну.

Еще одним интегралом является оператор

$$P=\sigma_{x}p_{x}+\sigma_{y}p_{y}+\sigma_{z}p_{z},$$ (1.7)

который коммутирует как с $H$ , так и с $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ , Мы можем, следовательно, подчинить $\psi$ также условию

$$P\psi=P^{ \prime}\psi.$$ (1.8)

С оператором $P$ мы уже встречались в теории Паули, но там нам не приходилось вычислять его собственных функций, поскольку в уравнение Паули входит только его квадрат, который при отсутствии поля равен

$$P^2=p^2_{x}+p^2_{y}+p^2_{z}.$$ (1.9)

Поэтому, когда $p^{ \prime}_{x},p^{ \prime}_{y},p^{ \prime}_{z}$ заданы, величина $P^{ \prime}$ может принимать только два значения

$$P^{ \prime}=+\sqrt{p^{ \prime^2}_{x}+p^{ \prime^2}_{y}+p^{ \prime^2}_{z}} \qquad dP^{ \prime}=-\sqrt{p^{ \prime^2}_{x}+p^{ \prime^2}_{y}+p^{ \prime^2}_{z}}.$$ (1.10)

Оператор $H$ , выраженный через $P$ , будет иметь вид

$$H=c\rho_{a}P+mc^2\rho_{c}.$$ (1.11)

Так как

$$H^2=m^2c^4+c^2P^2,$$ (1.12)

собственные значения $W$ оператора $H$ будут

$$W=+\sqrt{m^2c^4+c^2P^2} \qquad W=-\sqrt{m^2c^4+c^2P^2}.$$ (1.13)

Таким образом, при заданном значении количества движения мы имеем всего четыре решения

$$\left. \begin{array}{lcr} \mbox{первое}\qquad W=+\vert W\vert,\qu... ...x{четвертое}\quad W=-\vert W\vert,\quad P=-\vert P\vert. \end{array} \right\}$$ (1.14)

Первые два соответствуют положительному кинетическому потенциалу, из них первое-магнитному моменту или вектору спина, совпадающему по направлению с направлением движения, и второе-направленному противоположно движению. Последние два соответствуют отрицательной энергии и не имеют физического смысла в рамках обычной квантовой механики, оперирующей с сохраняющимся числом заряженных частиц; в существовании таких решений мы уже убедились в общем слчае в $\S 11$ гл. $I$ .

Найдем теперь собственные функции, описывающие эти четыре состояния.

Мы имеем систему алгебраических уравнений (1.4) и (1.8), которые напишем (отбросив везде штрихи) в виде

$$\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{$\left\{ \vrule height0pt depth20pt width0pt \right.$} (\sigma_{x}p_{x}+\sigma_{y}p_{y}+\sigma_{z}p_{z})\psi=P\psi,$$ (1.15)

$$(c\rho_{a}P+mc^2\rho_{c})\psi=W\psi.$$ (1.16)

Эти уравнения служат для определения четырехкомпонентной функции $\psi$ . Но уравнение (1.15) сохраняет смысл и для двухкомпонентной функции теории Паули.

Если мы, согласно формулам $\S 1$ ч. $III$ , будем разуметь под $\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},$ матрицы Паули

$$\sigma_{x}=\sigma_{1},\quad\sigma_{y}=\sigma_{2},\quad\sigma_{z}=\sigma_{3},$$ (1.17)

то уравнения (1.15) напишутся

$$\left. \begin{array}{rcl} (p_{x}-ip_{y})\psi_{2}+p_{z}\psi_{1}=P\... ...{1}, (p_{x}+ip_{y})\psi_{1}-p_{z}\psi_{2}=P\psi_{2}. \end{array} \right\}$$ (1.18)

Вследствие соотношения (1.9) определитель этой системы уравнений равен нулю. Мы можем положить

$$\psi_{1}=\lambda(P+p_{z}),\qquad \psi_{2}=\lambda(p_{x}+ip_{y}),$$ (1.19)

где $\lambda$ -постоянная.

Если же мы будем рассматривать (1.15) как уравнение для четырехкомпонентной функции и возьмем, в соответствии с формулами (4.46) $\S 4$ гл.$I$ , в качестве $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}$ матрицы

$$\sigma_{x}=s_{1},\qquad \sigma_{y}=s_{2},\qquad \sigma_{z}=s_{3},$$ (1.20)

где

$$s_{1}=\left\vert \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 0& 1& 0... ...0& 0& 0 0& -1& 0& 0 0& 0& -1& 0 0& 0& 0& 1 \end{array} \right\vert,$$ (1.21)

то уравнения (1.18) для функций $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ сохранят свой вид, но к ним присоединятся два аналогичных уравнения для функций $\psi_{3}$ и $\psi_{4}$ , а именно,

$$\left. \begin{array}{rcl} -(p_{x}+ip_{y})\psi_{4}-p_{z}\psi_{3}=P... ...3}, -(p_{x}-ip_{y})\psi_{3}+p_{z}\psi_{4}=P\psi_{4}. \end{array} \right\}$$ (1.22)

Решение этих уравнений мы можем написать в виде

$$\psi_{3}=\mu(p_{x}+ip_{y}),\qquad \psi_{4}=-\mu(P+p_{z}).$$ (1.23)

Таким образом, решение уравнения (1.15) для четырехкомпонентной функции $\psi$ содержит две произвольные постоянные $\lambda$ и $\mu$ . Отношение их можно определить из уравнения (1.16).

При нашем выборе матриц мы имеем, согласно (4.47) $\S 4$ гл.$I$ ,

$$\rho_{a}=\left\vert \begin{array}{@{\extracolsep{-1pt}}cccc} 1 & ... ... -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & o & 0 -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right\vert.$$ (1.24)

и уравнение (1.16) в раскрытом виде напишется

$$\left. \begin{array}{rcl} cP\psi_{1}-mc^2\psi_{4}=W\psi_{1}, cP... ...psi_{2}=W\psi_{3}, -cP\psi_{4}-mc^2\psi_{1}=W\psi_{4}. \end{array} \right\}$$ (1.25)

Выражая по формулам (1.20) и (1.23) компоненты волновой функции через $\lambda$ и $\mu$ , получим отсюда два уравнения

$$\left. \begin{array}{rcl} (W-cP)\lambda-mc^2\mu=0, -mc^2\lambda+(W+cP)\mu=0, \end{array} \right\}$$ (1.26)

которые повторяются в (1.25) по два раза. Эти уравнения дают

$$\frac{\lambda}{\mu}=\frac{W+cP}{mc^2}=\frac{mc^2}{W-cP}.$$ (1.27)

Отсюда следует, что отношение $\lambda/\mu$ вещественно и его знак совпадает со знаком потенциала $W$ . Из формул (1.27) следует также

$$\frac{\lambda^2+\mu^2}{2\lambda\mu}=\frac{W}{mc^2},\qquad \frac{\lambda^2-\mu^2}{2\lambda\mu}=\frac{P}{mc}.$$ (1.28)

Подставляя найденные значения (1.20) и (1.23) компонент волновой функции в выражения для вектора тока, приведенные в $\S8$ гл.$I$ , и пользуясь соотношениями (1.28), мы будем иметь

$$A_{4}=4\lambda\mu P(P+p_{z}),\qquad A_{5}=0$$ (1.29)

и для пространственно-временных составляющих вектора тока

$$A_{0}=\frac{W}{mc^2}A_{4},\quad A_{1}=\frac{p_{x}}{mc}A_{4},\quad A_{2}=\frac{p_{y}}{mc}A_{4},\quad A_{3}=\frac{p_{z}}{mc}A_{4}.$$ (1.30)

При $W>0$ можно нормировать функции $\psi$ так, чтобы было $A_{4}=mc^2$ , а при $W<0$ так, чтобы было $A_{4}=-mc^2$ . Тогда будет при $W>0$

$$A_{0}=W,\quad A_{1}=cp_{x},\quad A_{2}=cp_{y},\quad A_{3}=cp_{z}$$ (1.31)

и при $W<0$

$$A_{0}=-W,\quad A_{1}=-cp_{x},\quad A_{2}=-cp_{y},\quad A_{3}=-cp_{z}.$$ (1.32)

Таким образом, пространственные компоненты вектора тока пропорциональны количеству движения, а отношения их к временной компоненте соответствуют отношению скорости частицы и скорости света.

В заключение заметим, что в нерелятивистском предельном случае, когда потенциал $W$ близок к $+mc^2$ , величины $\lambda$ и $\mu$ близки друг к другу, вследствие чего имеют место приближенные равенства

$$\psi_{1}\approx -\psi_{4},\quad \psi_{2}\approx\psi_{3}\qquad (W>0).$$ (1.33)

Если же $\vert p\vert\ll mc$ , но потенциал отрицателен, то будет

$$\psi_{1}\approx \psi_{4},\quad \psi_{2}\approx-\psi_{3}\qquad (W<0).$$ (1.34)